Wie löse ich dieses Gleichungssystem effizient

Question

Aufgabe:

Wie löse ich dieses Gleichungssystem effizient

Problem/Ansatz:

w1 + w2 = 2

w1x1 + w2 = 0

w1x1²+ w2 = 2/3

Mir ist bewusst dass wenn man den richtigen Trick sieht das schnell lösen kann, ich zweifel jedoch daran dass ich in den 5 Minuten der Klausur drauf komme.

Comments

Ein bisschen unorthodoxe Bezeichnungen.

Meinst Du

I) w₁ + w₂ = 2

II) w_1*x₁ + w₂ = 0

III) w_1* (x₁)² + w₂ = \( \frac{2}{3} \)

Wenn ja, dann z.B. aus II) x₁ berechnen, in III) einsetzen und dann dort I) verwenden.

Zur Kontrolle:

\( w_{1}=\frac{3}{2}, \quad w_{2}=\frac{1}{2}, \quad x_{1}=-\frac{1}{3} \)

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Du kennst aus der Mittelstufe das Gleichsetzungsverfahren, Einsetzungsverfahren und das Additionsverfahren.

Aufbauend auf dem Additionsverfahren lernt man später noch das Divisionsverfahren (was zumindest ich so nenne) kennen.

Mit diesen Verfahren kommst du hier recht schnell zum Ziel.

Warum werden die Unbekannten w1, w2 und x1 bezeichnet. Wenn dich das verwirrt, dann führe erstmal eine Umbenennung durch.

a + b = 2
a·x + b = 0
a·x^2 + b = 2/3

II - I ; III - II

a·(x - 1) = -2
x·a·(x - 1) = 2/3

II / I

x = - 1/3

Jetzt x einsetzen

a·(- 1/3 - 1) = -2 → a = 3/2

Und a einsetzen

3/2 + b = 2 → b = 1/2

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Die Bezeichnungen sind Standardbezeichnungen bei der Bestimmung von Gaußschen Quadraturformeln. Hier: \(Qf=w_1f(x_1)+w_2f(x_2)\), mit Zusatzbedingung \(x_2=1\), soll exakt sein auf \([-1,1]\) für Polynome möglichst hohen Grades, was auf obige Gleichungen führt.

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Mir ist bewusst dass wenn man den richtigen Trick sieht das schnell lösen kann, ich zweifel jedoch daran dass ich in den 5 Minuten der Klausur drauf komme.

Es gibt hier keinen bestimmten Trick. Jemand, der halbwegs ordentlich rechnen kann (Gleichungen addieren, Einsetzungsverfahren, etc.), bekommt das auch in der Zeit hin. Vielleicht sollte man einfach mal anfangen, so etwas zu rechnen. Diese Zeiten erreicht man dann auch mit regelmäßiger und vor allem selbstständiger Übung. In der Mathematik geht es eben auch viel um Routine, insbesondere bei der Anwendung der grundlegenden Rechenverfahren. Allerdings wurde ja bereits wieder jeder Lerneffekt zunichte gemacht.

Auch sollte man in der Lage sein, so etwas unabhängig von der Benennung der Variablen lösen zu können.

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Zwei fachliche Anmerkungen zum Lösungsvorschlag von Der_Mathecoach:

1. Wenn ich korrigieren würde, würde ich für den vorgelegten Lösungsweg von Der_Mathecoach nur eine Teilpunktzahl vergeben. Nachgewiesen wird dort nach meinem Verständnis nur: Jede Lösung (x,a,b) des Gleichungssystems erfüllt x=--1/3, a=3/2 und b=1/2. Es fehlt der Nachweis, dass durch x=-1/3, a=3/2 und b=1/2 tatsächlich eine Lösung gegeben ist. Das nachzurechnen (z.B. durch Probe) ist nicht schwer, aber das Fehlen dieses Nachweises ist aus meiner Sicht ein logischer Fehler. Alternativ könnte man systematisch mit Äquivalenzumformungen des Gleichungssystems statt mit Schlussfolgerungen aus ihm arbeiten, wie es bei mir auch in der Schule gelehrt wurde.

2. Das "Divisionsverfahren" ist nur unter der Nebenbedingung, dass der Divisor verschieden von 0 ist, möglich. Ausführlicher aufgeschrieben ist das Gleichungssystem

\(a(x - 1) = -2\)
\(xa(x - 1) = 2/3\)

äquivalent zu

\(a(x-1)=-2\)

\(a(x-1)\neq0\) und \(\frac{xa(x-1)}{a(x-1)}=\frac{\frac{2}{3}}{-2}\),

was wiederum äquivalent ist zu

\(a(x-1)=-2\)

\(x=-\frac13\).

In jedem meiner beiden Schritte muss man sich beide Richtungen klarmachen!

Auch wenn Der_Mathecoach im Gegensatz zu mir nur eine Richtung verwendet, muss man sich unbedingt über \(a(x-1)\neq0\) Gedanken machen, bevor man den Term \(\frac{xa(x-1)}{a(x-1)}\) bildet, was Der_Mathecoach implizit tut. Ganz so trivial wie das Additionsverfahren ist das "Divisionsverfahren" also nicht.

Dass dies nicht nur eine logische Spitzfindigkeit ist, zeigt das folgende Gleichungssystem:

\(x=x\)

\(x=0\)

Nach einer naiven (fehlerhaften) Anwendung des Divisionsverfahrens "II/I" könnte man auf 1=0 schlussfolgern, also eine Gleichung ohne Lösung in den reellen Zahlen. Das Gleichungssystem hat aber die Lösung x=0.

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Die Fälle \(a=0\) bzw. \(x=1\) kann man offensichtlich ausschließen, da in beiden Fällen die ersten beiden Gleichungen sofort zu einem Widerspruch führen. Aber ja, es sollte in jedem Fall erwähnt werden! Andererseits sind wegen der Gleichung \(a(x-1)=-2\neq 0\) diese Fälle ohnehin ausgeschlossen, weshalb die Division an dieser Stelle unproblematisch ist. In deinem Beispiel ist wegen \(x=0\) hoffentlich klar, dass das Divisionsverfahren hier keine gültige Umformung ist.

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Könnte man nicht statt Gleichung II / I zu rechnen einfach I in II einsetzen und spart sich die Fallunterscheidungen?

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Andererseits sind wegen der Gleichung \(a(x-1)=-2\neq 0\) diese Fälle ohnehin ausgeschlossen, weshalb die Division an dieser Stelle unproblematisch ist.

Das ist nichts anderes als eine knappere Alternativformulierung meiner Argumentation. Hauptsache finde ich, dass man sich diese Gedanken macht (wenn man denn das Divisionsverfahren verwenden möchte), was bei Der_Mathecoach nicht explizit ersichtlich war.

In deinem Beispiel ist wegen \(x=0\) hoffentlich klar, dass das Divisionsverfahren hier keine gültige Umformung ist.

Deine Argumentation ist hier nicht ganz korrekt: Nicht die Anwesenheit der Gleichung \(x=0\) verbietet in meinem Beispiel das Divisionsverfahren, sondern die Abwesenheit einer Gleichung, die \(x\neq 0\) impliziert.

Neues (triviales) Beispiel-Gleichungssystem:

\(x=x\)

\(x=0\)

\(x=1\)

Hier ist mittels "II/I" eine Umformung zu

\(x=x\)

\(x\not=0\) und \(\frac{x}{x}=\frac{0}{x}\)

\(x=1\)

sehr wohl eine erlaubte Äquivalenzumformung. Oder in deiner Formulierung: "Wegen \(x=1\neq 0\) ist \(x=0\) sowieso ausgeschlossen, weshalb die Division an dieser Stelle unproblematisch ist".

(Soweit der logische Standpunkt. Natürlich würde ich in der Praxis das Divisionsverfahren meiden, wenn es wie hier einfachere Alternativen gibt.)

Könnte man nicht statt Gleichung II / I zu rechnen einfach I in II einsetzen und spart sich die Fallunterscheidungen?

In der Tat, ja.

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Die Lösungen erhalten halt immer einen Trick , also benutzen zb nicht das Einsetzungsverfahren mit dem halt manchmal unschöne rechnungen notwendig wären...

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Nicht das Einsetzungsverfahren zu nutzen, ist jetzt aber auch kein wirklicher Trick. Siehe oben den Kommentar von matthes: Einsetzen ist eben auch nicht immer so doof. Wenn die Lösungen entsprechende Vorgehensweisen haben, versuche sie, hier anzuwenden. Du kannst nur etwas lernen, wenn du dich selbst mit solchen Aufgaben auseinandersetzt. Dann wirst du mit der Zeit auch ein Gefühl dafür bekommen, wann ein Ansatz gut ist und wann nicht. Wenn man gleich von Anfang an nach dem optimalen Ansatz sucht, verschenkt man unter Umständen unnötig Zeit.

Das fällt mir bei anderen aber immer wieder auf: Sie überlegen sehr lange, welchen Ansatz sie benutzen sollen, anstatt mal anzufangen und auszuprobieren. Oft merkt man aber recht schnell, ob der Ansatz richtig ist oder nicht.

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Das kann ich nur unterstützen. Es gibt hier keine Liste von Tricks, die man auswendig lernen sollte. Einfach anfangen und ausprobieren - beim Üben im Hinblick auf die Klausur. Auch ungeschickte und nicht-zielführende Versuche bringen Erfahrung (dann probiert man sie nicht in der Klausur aus). Probiere mehrere versch. Wege aus, vergleiche danach die Ergebnisse.

Dazu gibt es keine Abkürzung, also üben, üben, üben.

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Ja, das ist das Problem.

Die Tricks erfordern eine gewisse "Intuition", man sieht wie man es umstellt und kann so in 2 schritten alles auflösen.

Daher meine Frage ob es ein Verfahren gibt, das man stur ohne Intuittion anwenden kann und nicht so kompliziert ist. Die Antwort von MatheCoach klingt eigentlich vielversprechnd, muss es mal auf andere Aufgaben anwenden ob das immer geht.... Und ja, es geht um Quadraturformeln.

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Intuition gewinnt man aber auch mit der Erfahrung. Es geht auch meistens gar nicht um Intuition, sondern viel mehr um das Erkennen von Mustern, was bspw. auch ein gewisses Verständnis für Mathematik und Zahlen erfordert. Aber dafür gibt es auch keine konkreten Tricks.

Ich sehe Lösungen auch nicht sofort vor dem geistigen Auge, sondern ich fange an und meist macht es erst dann Klick. Sowas sieht man natürlich nicht, wenn man sich Musterlösungen anschaut. Sie sind oft so gestaltet, dass sie relativ kurz sind und wirken dann natürlich so, als würde man von Anfang an sofort alles sehen. So funktioniert Mathematik aber gar nicht. Davon sollte man unbedingt Abstand gewinnen.

Die Verfahren, die man hier anwenden kann, wurden dir ja alle genannt. Probiere sie aus, lernen deren Unterschiede kennen und finde heraus, was gut funktioniert und was eben nicht. Mathematik betreibt man praktisch und nicht nur theoretisch.

Die Probleme, auf die es zu achten gilt, wenn man das "Divisionsverfahren" anwendet, wurden ja weiter oben erwähnt. Das, was du jetzt hier vielleicht neu gelernt hast, ist wohl die Tatsache, dass man Gleichungen unter Umständen auch dividieren darf. Allerdings mit Vorsichtig. Das darfst du jetzt gerne in deine "Trickkiste" packen.

Noch zwei Beispiele, was die Intuition von Lösungen angeht:

Der Unerfahrene löst die Gleichung \(x^2+6x+9=0\) mit der pq-Formel, während der Erfahrene sofort sieht, dass es sich um die binomische Formel \((x+3)^2=0\) handelt. Die Lösung kann dann sofort angegeben werden.

Der Unerfahrene löst die Gleichung \(x^2-5x+6=0\) mit der pq-Formel, während der Erfahrene sofort erkennt, dass \(2\cdot 3=6=q\) und \(-(2+3)=-5=p\) gelten und die Lösungen daher \(x_1=2\) und \(x_2=3\) sind (Satz von Vieta).

In beiden Fällen führt die pq-Formel zum Ziel und jemand, der geübt darin ist, braucht auch nicht sonderlich lange dafür. Wer aber weitaus mehr Erfahrung hat, zum Beispiel mit den binomischen Formeln und dem Satz von Vieta, der erkennt solche Muster oft schon, bevor er die pq-Formel überhaupt anwenden muss. Das kann man sich aber auch nur aneignen, wenn man sich vorher ausreichend damit befasst hat. Wer binomische Formeln nie verstanden hat oder den Satz von Vieta gar nicht erst kennt, kann dieses Wissen natürlich nicht nutzen.

Answer 1

(I) w1 + w2 = 2

(II) w1*x1 + w2 = 0

(III) w1* (x1)² + w2 = \( \frac{2}{3} \)   

Löse (I) nach w1 auf und erhalte (Ia). Löse (II) nach w1x1 auf und erhalte (IIa). Löse (III) nach w1x1² auf und erhalte (IIIa).

Sowohl (IIa)/(Ia) als auch (IIIa)/(IIa) ergeben x1. Damit ist eine Bestimmungsgleichung für w2 gewonnen. Der Rest ergibt sich durch simples Einsetzen.

Comments

Hatten nicht schon mehrere Kommentare die Risiken beim sorglosen Dividieren von Gleichungen thematisiert? Jetzt bringst du unter Ausblendung dieses Problems eine weitere Variante davon. Das ist kein Mehrwert, eher ein Rückschritt.

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Vor allem im Hinblick darauf, dass spätere Leser sehr wahrscheinlich ERST die Antwort lesen und erst dann, wenn überhaupt, die oben stehenden Kommentare...