Minimalpolynom und größere Potenzen als 1

Question

Aufgabe:

Es ist keine direkte Aufgabe da.

Folgendes Szenario, gegeben ist eine Matrix, Aufgabe ist es das charakteristische Polynom und Minimalpolynom zu bestimmen.

Das char. Polynom ist einfach, selbst wenn man bei einer 6x6 Matrix mit Laplace sich etwas quält, so mein Eindruck.

Das Minimal Polynom ist was mir etwas "Kopf" bereitet.

Verstehe ich das richtig, dass man hier die von der Potenz kleinste mögliche Zerlegung sucht ?

Und wie lässt sich prüfen ob das Minimalpolynom auch dann endgültig, dass Minimalpolynom ist am Ende ?

Nehmen wir ein Beispiel aus einer Aufgabe.

Charakteristisches Polynom ist

$$(2-\lambda)^2(1-\lambda)$$

aus folgender Matrix:

$$\begin{pmatrix} 2 &0 & -3 \\ 0 & 2 & -3\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Aus einigen Beiträgen und der Musterlösung weiß ich, dass man über die dim(ker) für einen Eigenwert die Potenz bestimmen lässt.

In einem Video wurde das Anhand eines anderen Beispiels anders gemacht, das Minimalpolynom wurde nach den EW Bestimmung mit der kleinsten Potenzangenommen und nach dem Satz von Cayley Hamilton gleich 0 gesetzt. Da aus dem Video 2 EW gegeben waren, war das "simpel".

Problem/Ansatz:

Meine Frage ist nun, könnte ich nicht auch ein Minimalpolynom erhalten welches auch eine höhrere Potenz hat als über der Klammer ?

Wenn ja, wie gestalte ich das vorgehen dann dort ?

Doch über die Dimension des Kerns minus den Rang der Matrix selbst?

Ich versuche hier für mich Klarheit zu finden, welche Methode ich mir eher merken sollte. Am Ende werde ich irgendwo beide gesehen haben.

Meiner Meinung nach ist der Weg mit der Dimension ein sicherer als derjenige über Cayley Hamilton.

Vielen Dank

Comments

Wenn du zu einer Matrix \( A \) das Minimalpolynom suchst, berechnest und faktorisierst du erstmal das charakteristische Polynom

\( \chi_A(t) = \prod_{i=1}^k (t - \lambda_i)^{f_i} \)

Der Ansatz für das Minimalpolynom lautet dann

\( \mu_A(t) = \prod_{i=1}^k (t - \lambda_i)^{e_i} \)

mit \( 1 \le e_i \le f_i \). Um die Koeffizienten \( e_i \) zu bestimmen, gibt es einen Algorithmus den man abarbeiten kann. Vergleiche die Bestimmung der Jordan-Normalform:

https://de.wikipedia.org/wiki/Jordansche_Normalform

\( e_i \) entspricht gerade der Größe des größten \( \lambda_i \)-Blocks. Also sowas hier

$$ J_j= \begin{pmatrix} \lambda_i & 1 &  &  & 0 \\  & \lambda_i & 1 &  &  \\ && \ddots{} & \ddots{}\\ &&& \lambda_i & 1 \\ 0 &  & &  & \lambda_i \end{pmatrix} \in K^{s\times s}$$

Die kann man über Haupvektorketten ausrechnen. Denn

$$ J_j - \lambda_i I_s = \begin{pmatrix} 0 & 1 &  &  & 0 \\  & 0 & 1 &  &  \\ && \ddots{} & \ddots{}\\ &&& 0 & 1 \\ 0 &  & &  & 0 \end{pmatrix} \in K^{s\times s} $$

ist eine nilpotente Matrix mit Nilpotenzgrad \( s \), d.h. \(  (J_j - \lambda_i I_s)^s = 0 \) und \(  (J_j - \lambda_i I_s)^l \neq 0 \) für \( l \le s \).

Es ist aber meist gar nicht nötig diese Maschinerie anzuwerfen, da Matrizen in Klausuren nicht sonderlich rießig sind.

Oftmals reichen die drei Regeln:

Ist \( f_i = 1 \) muss auch \( e_i = 1 \) sein.

Ist \( f_i = 2 \) und die geometrische Vielfachheit (= Dimension Eigenraum) von \( \lambda_i \) gleich 1, so ist \( e_i = 2 \), ist die geometrische Vielfachheit gleich 2, so ist \( e_i = 1 \)

Für \( f_i = 3 \) reicht es auch die geometrische Vielfachheit von \( \lambda_i \) zu bestimmen.

Falls diese 3 ist: \( e_i = 1 \)

Falls diese 2 ist: \( e_i = 2 \)

Falls diese 1 ist: \( e_i = 3 \)

Warum funktioniert das? Die geometrische Vielfachheit gibt die Anzahl der \( \lambda_i \)-Blöcke an. Die algebraische Vielfachheit ist die Summe der Größen aller \( \lambda_i \)-Blöcke.

Bsp: algebraische Vielfachheit 3, geometrische 2: Es gibt 2 Blöcke der Größe \( \ge 1 \). Die Summe ihrer Größen ist \( 3 \). Die einzig (bis auf Vertauschung) mögliche Zerlegung in positive ganzzahlige Summanden ist \( 3 = 2 +1 \). Also hat der größte Block Größe 2 und somit ist der Exponent im MiPo auch 2.

Ab algebraischer Vielfachheit 4 funktioniert das nicht mehr immer, da es Zerlegung in Summanden gibt, die nicht mehr eindeutig sein müssen. Z.B. ist 4=1+3=2+2.

In einem Video wurde das Anhand eines anderen Beispiels anders gemacht, das Minimalpolynom wurde nach den EW Bestimmung mit der kleinsten Potenzangenommen und nach dem Satz von Cayley Hamilton gleich 0 gesetzt. Da aus dem Video 2 EW gegeben waren, war das "simpel".

Was da gemacht wurde kann ich nicht Beurteilen. Cayley-Hamilton sagt in der gängigen Fassung, dass \(\chi_A(A)=0 \) gelten muss und trifft keine Aussage über das MiPo.

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Also gibt es eine Beziehung vom Minimalpolynom mit dem Grad der Dim(ker), weil sich damit die Potenz bestimmen lässt des Minimalpolynoms und den algebraisch, geometrischen Vielfachheiten des Eigenwerts ?

Es klingelt ein wenig, LinA 2 als Klausur ist Ende September dran und ich versuche mich einfach mit den Übungsaufgaben auseinander zu setzen.

Zum obig genanntem Beispiel wurde vom EW = 2 die dim(ker) bestimmt, aus der Matrix ergaben sich 2 Nullzeilen was die Dimension zu einer 2 macht und nach dem (Rangsatz?) wäre die Potenz nun 1, weil es die dim(im) annimmt oder 2 vom Teiler des charakteristischem Polynom. Denn in der Musterlösung ist das Minimalpolynom  (x-2)(x-1)

Was mich etwas verwirrt in der Musterlösung ist die Dimension des anderen EW. Diese ist 1 nach den Nullzeilen "Argument". Wenn ich weiterhin annehme, dass der Rang der Matrix 3 ist erhalte ich ja für die Dim(ker)=1, nach dem Rangsatz bleibt für das Bild die Dim 2 übrig.

Warum sind beide Potenzen der EW dann vom Grad 1 ?

Und die Frage mit dem Satz von Cayley Hamilton bezog sich darauf, dass wenn man (A-2Id)*(A-Id) rechnet, diese =0 ist.

Angeblicher Satz vom Cayley Hamilton.