Welchen Radius hat der dritte Kreis?

Question

Gegeben ist ein Quadrat ABCD. Von drei sich paarweise berührenden Kreisen haben zwei ihre Mittelpunkte in A bzw. B. Der dritte Kreis berührt außer die beiden anderen auch die Quadratseite CD. Welchen Radius hat der dritte Kreis in Abhängigkeit von der Quadratseitenlänge?

Comments

4/15 a ?
lul

---

Ich habe etwas mehr raus: \(\texttt{Radius}={\large\frac9{32}}\cdot\texttt{Quadratseitenlänge}\).

---

Da gefällt mir \(r=\frac{1}{3}a\) besser.

---

Mir auch\(\).

Answer 1

Entweder die Frage ist unvollständig, oder die Antworten sind unvollständig.

Bei korrekter Analyse der gestellten Aufgabe müssten die möglichen Radien des dritten Kreises in einer von-bis-Spanne angegeben werden. Die bisherigen Antworten scheinen vom Spezialfall auszugehen, dass die ersten beiden Kreise den gleichen Radius haben. Davon steht aber in der Aufgabenstellung rein gar nichts.

Interessant wäre in diesem Zusammenhang die Frage, bis zu welchem Verhältnis r_1 : r_2 der dritte Kreis überhaupt existiert.

Comments

Der eine der beiden ersten Kreise kann den anderen auch innen berühren.

---

ChatGPT meint, es gibt keine Lösung mit Berührung von innen und die allgemeine Lösung sei:

- Quadrat-Seitenlänge: \( a \)
- Radius des Kreises mit Mittelpunkt in \( A: r_{A} \)
- Radius des Kreises mit Mittelpunkt in \( B: r_{B}=a-r_{A} \)
- Gesuchter Radius des dritten Kreises: \( r \)

Die geschlossene Formel für \( r \) lautet dann (für \( r_{A} \neq \frac{a}{2} \) ):
\( r\left(a, r_{A}\right)=a \cdot \frac{-\left(2 r_{A}^{2}-2 a r_{A}-a^{2}\right)-2 \sqrt{r_{A}\left(a-r_{A}\right)\left(2 a-r_{A}\right)\left(a+r_{A}\right)}}{\left(2 r_{A}-a\right)^{2}} \)

Spezialfall:
Falls \( r_{A}=\frac{a}{2} \), gilt
\( r=\frac{a}{3} . \)

Schon bemerkenswert für ein Sprachmodell finde ich. Und das beantwortet auch die Frage, für welche Verhältnisse der Radien eine Lösung existiert.

---

Da Roland nur von einer Abhängigkeit der Seitenlänge \(a\) gesprochen hat, gehe ich stark davon aus, dass er eben den Spezialfall mit \(r_A=\frac{a}{2}\) meint.

---

Es soll in den vergangenen 10 Jahren schon mindestens einmal vorgekommen sein, dass Roland eine Aufgabenstellung nachträglich präzisieren musste.

Answer 2

Der Punkt \(A\), der Mittelpunkt von \(\overline{AB}\) und der Mittelpunkt des gesuchten Kreises \(M\) bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Die Hypotenuse dieses Dreiecks hat die Länge \(R+r\), wobei \(R=\frac{a}{2}\) der Radius des Kreises um \(A\) und \(r\) der gesuchte Radius des Kreises um \(M\) ist. Es ist \(a\) die Seitenlänge des Quadrats. Die Länge der Hypotenuse ist damit aufgrund der Tangentialeigenschaft der beiden Kreise klar. Die Katheten dieses Dreiecks haben nun die Seiten \(\frac{a}{2}\) und \(a-r\). Nach Pythagoras gilt:

\(\begin{aligned}\left(\frac{a}{2}\right)^2+(a-r)^2&=\left(\frac{a}{2}+r\right)^2\\\frac{a^2}{4}+a^2-2ar+r^2&=\frac{a^2}{4}+ar+r^2\\a^2&=3ar\\r&=\frac{1}{3}a\end{aligned}\)