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Aufgabe:

Gegeben sei ein Trapez ABCD, AB parallel zu CD, mit den Winkeln

α1 = BAC,
α2 = CAD,
β1 = ABD.

Wie lassen sich die Winkel
β2 = CBD und
γ1 = ACB
berechnen?


Problem/Ansatz:

Seiten- oder Diagonallängen sind nicht gegeben, die Berechnungen habe ich also auschließlich über die Winkel versucht.
Es ließen sich alle Winkel außer β2 und γ1 berechnen. Für das Problem habe ich auch keine Lösung im Internet gefunden.

Die zeichnerische Konstruktion eines Trapezes mit den gegebenen Winkeln hat funktioniert, entsprechend auch eine Messung des gesuchten Winkels, was allerdings nicht gefragt war.

Text erkannt:

gegebene Winkel:
\( \begin{array}{l} \alpha_{-}=B A C \\ \alpha_{2}=C A D \\ \beta_{-}=A B D \end{array} \)
gesuchter Winkel:
\( \beta_{2}=C B D \)

Trapezwinkel.gif

Text erkannt:

gegebene Winkel:
\( \begin{array}{l} \alpha_{-}=B A C \\ \alpha_{2}=C A D \\ \beta_{-}=A B D \end{array} \)
gesuchter Winkel:
\( \beta_{2}=C B D \)


Text erkannt:

gegebene Winkel:
\( \begin{array}{l} \alpha_{1}=B A C \\ \alpha_{2}=C A D \\ \beta_{1}=A B D \end{array} \)
gesuchter Winkel:
\(
\beta_{2}=C B

Avatar vor von

Wo stammt die Aufgabe her? Mir deucht, man muß schon ein wenig fummeln, um die Winkel zu bestimmen…

Hallo user26605,

das Problem stammt aus einer eigenen Facharbeit.

Ja, die Lösung ist nicht ohne, aber ich habe sie inzwischen selbst gefunden:

cot β = cot α + cot β1 - cot α1   mit  α = α1 + α2   und  β = β1 + β2
β2 = β - β1

Sie ist am Ende einleuchtend, aber leider keine einfache geometrische Lösung, wie ich sie gerne gehabt hätte.

Nichtsdestotrotz lassen sich damit nun alle anderen Winkel inkl. γ1 auf einfache Weise berechnen.

Dazu auch eine aktualisierte Graphik (wie kann ich hier eigentlich meine Frage updaten?).

Trapezwinkel.gif

Text erkannt:

A
\( \begin{array}{ll} \cot \beta & =\cot \alpha+\cot \beta_{1}-\cot \alpha_{1} \\ \beta_{2} & =\beta-\beta_{-} \end{array} \)

Die kleinen Ziffern sind nur für die Reihenfolge der Linien bei der graphischen Konstruktion gedacht.

Ich habe eine Lösung mit arctan, sin und cos.

Falls es Dich interessiert:

\( \beta_{2}=\arctan \left(\frac{\sin ^{2}\left(\beta_{1}\right) \sin \left(a_{2}\right)}{\sin \left(a_{1}\right) \sin \left(a_{1}+a_{2}\right)-\sin \left(\beta_{1}\right) \cos \left(\beta_{1}\right) \sin \left(a_{2}\right)}\right) \)
\( \gamma_{1}=180^{\circ}-a_{1}-\beta_{1}-\beta_{2} \)

Auch 'ne interessante Lösung.

1 Antwort

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Nutze Winkelsummen im Dreieck und die Tatsache, dass benachbarte Winkel im Trapez, die am selben Schenkel liegen, zusammen 180° ergeben. Zeichne fehlende Winkel mit den entsprechenden Maßen einfach mal ein und schaue, ob du damit die gesuchten Winkel bestimmen kannst.

Melde dich, wenn du nicht weiterkommst.

Avatar vor von 21 k

Hallo Apfelmännchen,

danke Dir für die Unterstützung.

Leider bin ich auch mit den Winkelsummen der Dreiecke ABC, BCD, BCS und am Schenkel BC nicht weitergekommen.

Die beiden unbekannten Winkel lassen sich nicht separieren.

Eine trigonometrische Lösung habe ich zwar jetzt selbst gefunden, aber lieber wäre mir eine geometrische gewesen.

Ist jetzt erstmal nicht weiter tragisch.

Danke und Gruß, alage


P.S. Wie kann ich eigentlich meine Frage updaten (bin neu hier)?

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