Wie kann ich jetzt bei gemessenen Spannung von 6V den Temperaturwert berechnen?

Question

Aufgabe:

ich habe folgende festgelegten Werte.

- Spannungsbereich 2 bis 10 V

- Temperaturbereich -30°C bis 70°C

- 2 V entsprechen -30°C und 10 V entsprechen 70°C

- der Spannungsverlauf ist linear



Wie kann ich jetzt bei gemessenen Spannung von 6V den Temperaturwert berechnen?

Comments

Hier eine passende Skizze

---

warum -55? Sorry, meine letzte Mathestunde war vor ca. 50 Jahren. Bin etwas "eingerostet"

---

warum -55?

Weil -55 der y-Achsenabschnitt ist, den du auf der Skizze nicht sehen kannst.

Zum Aufstellen der Funktionsgleichung kannst du zunächst die Steigung m bestimmen

m = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (70 - (-30)) / (10 - 2) = 100/8 = 12.5

Dann bestimmst du den y-Achsenabschnitt b aus der Steigung und einem Punkt

y = m * x + b
b = y - m * x = 70 - 12.5 * 10 = - 55

Jetzt kann man mit m und b die Funktionsgleichung aufstellen

y = 12.5 * x - 55

---

OK, das habe ich soweit verstanden.

Würde die Formel auch Rückwerts funktionieren? Also, ich habe eine Temperatur von 30°C in einem Range von -30 bis +70 und möchte gerne die dazugehörige Spannung berechnen. Geht das auch auf die gleiche Art und Weise?

---

Ja. Dazu kannst du die Formel nach x auflösen

y = 12.5 * x - 55
y + 55 = 12.5 * x
(y + 55) / 12.5 = x
x = (y + 55) / 12.5
x = 0.08 * y + 4.4

---

Danke für die Hilfe.

---

Doch noch eine Frage. Wo kommen die 0,08 und 4,4 her?

---

x = (y + 55) / 12.5
x = y / 12.5 + 55 / 12.5 
x = 1 / 12.5 * y + 55 / 12.5

Berechne jetzt mal

1 / 12.5 = ...
55 / 12.5 = ...

Du darfst auch einen Taschenrechner benutzen, wenn du es im Kopf nicht kannst.

---

So ist das logisch :-)

Answer 1

Hallo ruppi,

falls Dir das mit den bisher beschriebenen Methoden nicht anschaulich genug ist, hier ein weiteres Vorgehen:

Deine 'Eckpunkte' sind \(\left(2\text{V},\, -30\text{°C}\right)\) und \(\left(10\text{V}, \, 70\text{°C}\right)\)

Die gemessenen \(6\text{V}\) liegen \(w_1=6\text{V}-2\text{V}=4\text{V}\) vom unteren und \(w_2=10\text{V}-6\text{V}=4\text{V}\) vom oberen Eckpunkt entfernt.

Es liegt doch auf der Hand, dass umso größer \(w_1\) gegenüber \(w_2\) wird, desto näher liegt der gesuchte Wert am oberen Ende (bei 70°C) und umso größer \(w_2\) gegenüber \(w_1\) ist, desto näher liegt der Wert am unteren Ende (bei -30°C).

Folglich multiplizierst Du die beiden Eckpunkte mit den 'Gewichten' \(w_1\) bzw. \(w_2\) und teilst durch das 'Gesamtgewicht' \(w_!+w_2\), um es zu normieren - also ist die gesuchte Temperatur \(T\)$$ T = \frac{w_1 \cdot 70\text{°C} + w_2 \cdot (-30\text{°C})}{w_1+w_2}= \frac{4 \cdot 70\text{°C} + 4 \cdot (-30\text{°C})}{8} = 20\text{°C}$$Gruß Werner

Answer 2

Stelle eine Geradengleichung in der Zweipunkteform auf. Verwende dabei x für Spannung und y für Temperatur.

Setze x = 6 in diese Gleichung ein.

Comments

Könntest Du das an einem Beispiel zeigen?

---

Du hast ja schon ein Beispiel. Die beiden Punkte dort sind

x₁ = 2

y₁ = -30

x₂ = 10

y₂ = 70

---

und wo ist da x ?

---

Klicke auf den Link in meiner Antwort, dann siehst Du das x, das mit 6 ersetzt werden soll.

\( \begin{aligned} y &= \overbrace{\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \cdot (x - x_1) + y_1}^{\substack{\text{Funktionsterm} \\\\ \text{der Geradengleichung} \\\\ \text{in Zweipunkteform}}} \\\\ &= \frac{70+30}{10-2} \cdot (x - 2) -30 \\\\ & = 20 \end{aligned} \)

---

Mit den gegebenen 2 Wertepaaren bestimmst du zunächst die Steigung der Geraden:

$$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}$$

Damit erhältst du

$$y = m \cdot x +b$$

Dann setzt du ein Wertepaar ein (für x und y) und löst nach b auf.

Damit hast du dann die vollständige Geradengleichung.

Answer 3

Die \(6\,\textrm{V}\) liegen genau in der Mitte zwischen \(2\,\textrm{V}\) und \(10\,\textrm{V}\).

Genau in der Mitte zwischen \(-30\,^\circ\textrm{C}\) und \(70\,^\circ\textrm{C}\) liegen \(\underline{50\,^\circ\textrm{C}}\).

Comments

Genau in der Mitte zwischen \(-30\,^\circ\textrm{C}\) und \(70\,^\circ\textrm{C}\) liegen \(\underline{50\,^\circ\textrm{C}}\).

Nah.

---

Stimmt meiner Meinung nach nicht,. In der Mitte liegen 20°C, da man vom Ergebnis die -30°C abziehen muß, oder?

---

In der Mitte liegen 20°C

Ja.

---

Nein, man muss die beiden Zahlen addieren und dann durch 2 teilen. Wenn man das richtig macht :-), kommt da natürlich \(20\,^\circ\textrm{C}\) raus. ich habe mich verrechnet.