Kreisfläche und Radius

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie ohne elektronische Hilfsmittel:

a) Wieviel beträgt das Verhältnis R / r der Radien der beiden Kreise?

b) Wieviel beträgt das Verhältnis der Flächeninhalte der beiden Kreise?

Problem/Ansatz:

Bei b) etwa 5; ich habe die Frage in einem Prüfungsvorbereitungskurs für angehende technische Kaufleute gestellt, dabei richtige Antworten erhalten, und die Aufgabe hier zur Unterhaltung der geneigten Mitleserschaft eingestellt.

Answer 1

Höhensatz: (2r)² = (R-r)(R+r)

4r²=R²-r²

5r²=R²

Das Flächenverhältnis ist R²:r² = 5:1, das Radienverhältnis die Wurzel davon.

Answer 2

Aloha :)

Eine schöne Aufgabe, weil man die Lösung sofort sieht. Die halbe Seite des Quadrates \(r\) (obere Kante) und die Höhe des Qadrates \(2r\) (Mittelsenkrechte) bilden als Katheten mit der Hypotenuse \(R\) (vom Kreismittelpunkt zur linken oberen Ecke des Quadrates) ein rechtwinkliges Dreieck:$$R^2=r^2+(2r)^2=5r^2$$

Comments

Die meisten haben es so gelöst wie Du.

Der erste Antwortgeber schrieb für den oberen Bogen des großen Kreises mit Mittelpunkt (0│0) die Gleichung

\(\displaystyle y = \sqrt{R^2-x^2}\)

und kam dann für die rechte obere Ecke des Quadrats mit

\(\displaystyle \sqrt{R^2-r^2} =2r \)

auf

\(\displaystyle R= \sqrt{5}\; r\)

und für den Flächeninhalt auf das Verhältnis 5, da er erkannte, dass die Kreisfläche im Quadrat mit dem Radius geht.

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Manchmal wundere ich mich, wie kompliziert Rechenwege sein können, obwohl man die Lösung ohne große Rechnung erhalten kann... ;)

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Das war ein gelernter Kaufmann. Vielleicht mag er deswegen krumme Sachen.

Answer 3

Einmal Phytagoras im halben Quadrats-Dreieck mit R, r und 2r gibt R = \( \sqrt{5} \)r

und A=5a