Ziel der Aufgabe ist es, die Kettenregel auf \(f(-x)\) anzuwenden, um dann die Symmetrieeigenschaft zu sehen. Die nötigen Bedingungen dafür, hast du ja bereits notiert.
Für eine leichtere Lesbarkeit definieren wir \(g(x)=f'(x)\).
Für a): \(f\) ist punktsymmetrisch, also gilt \(f(x)=-f(-x)\).
Dann gilt \(g(x)=f'(x)\stackrel{\textrm{Sym.}}{=}\big(-f(-x)\big)'.\qquad (\ast)\)
Auf diesen Ausdruck wendest du jetzt die Kettenregel an:
- Das erste Minus kannst du rausziehen.
- Die innere Funktion ist einfach \(v(x)=-x\). Dann bekommst du beim Ableiten einfach nur ein zusätzliches Minus, was sich mit dem herausgezogenen Minus aufhebt.
- Einsetzen der inneren Funktion \(v(x)\) in \(u(x)=f(x)\).
Übrig bleibt dann \(g(x)=f'(-x)=g(-x)\), was Achsensymmetrie zeigt.
Der Fall b) funktioniert ganz genauso mit \(f(x)=f(-x)\). Da kürzt sich dann kein Minus heraus und man erhält \(g(x)=-g(-x)\), was Punktsymmetrie zeigt.
Deine Aufgabe ist es jetzt also, die Rechnung mit der Kettenregel zur Bestimmung von \((\ast)\) aufzuschreiben.
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