Thema: Stochastik? Wahrscheinlichkeit?

Question

Aufgabe:

Die beiden Rader eines Glücksautomaten sind jeweils in 6 gleich große Sektoren eingeteilt und drehen sich unabhängig voneinander (Abbildung)

a) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit für eine Auszahlung von 5 € bzw. von 2 € (siehe Gewinnplan).

b) Der Einsatz beträgt 0,50 € pro Spiel. Entscheiden Sie, ob sich das Spiel auf lange Sicht lohnt.

Problem/Ansatz:

Ich komme gar nicht weiter. Kann mir jemand weiter helfen?

Comments

Wie weit kommst Du denn? Ab da helfen wir weiter.

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Bin mir jetzt nicht sicher, aber ich hätte als erstes P(5)= ⅙ × ⅙ gemacht? Weil da unten beim Gewinnplan steht ja zweimal 4 ist ja 5 Euro. Und auf einem Rad gibt es nur eine 4.

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Hervorragend. Damit ist die erste Hàlfte von a) schon gelöst. Die zweite Hälfte geht nicht grundlegend anders.

Und bei b) würde ich den Erwartungswert der Auszahlung ausrechnen. Dazu braucht man die Ergebnisse von a) und die Wahrscheinlichkeit einer Auszahlung von 0, wobei sich die drei Wahrscheinlichkeiten zu 100 % addieren (den Erwartungswert auszurechnen geht mit etwas Initiative problemlos auch im Kopf; Du wirst feststellen, dass das Spielangebot ökonomisch rational ist, denn der Spieler wird auf lange Sicht verlieren und die Bank gewinnen).

E[X] = 1/36 * 5 + 2/36 * 2 + 33/36 * 0 = (5 + 4) / 36 = 1/4 Euro

Die Wahrscheinlichkeiten sind:

Rad rechts → Rad links ↓	2	4	anders	Total
2	1/6 * 2/6 = 2 / 36	1/6 * 1/6	1/6 * 3/6	6 / 36
4	1/6 * 2/6	1/6 * 1/6 = 1 / 36	1/6 * 3/6	6 / 36
anders	4/6 * 2/6	4/6 * 1/6	4/6 * 3/6	24 / 36
Total	12/36	6/36	18/36	36 / 36

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Hat sich geklärt. Vielen Dank.

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Hab jetzt doch noch eine Frage. Meine Freundin hat 50 Cent abgezogen. Warum?

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Hab jetzt doch noch eine Frage. Meine Freundin hat 50 Cent abgezogen. Warum?

Sie kennt den Unterschied zwischen "Gewinn" und "Auszahlung"?

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Einbezahlt wird 50 Cent.

Der Erwartungswert der Auszahlung ist 25 Cent.

Der Erwartungswert des Gewinns (des Spielers) ist 25 - 50 = - 25 Cent.

Der Erwartungswert des Gewinns der Bank ist 50 - 25 = 25 Cent.

Konfuzius sagt: Wenn Du wissen willst, warum Deine Freundin 50 Cent abgezogen hat, dann könntest Du auch Deine Freundin fragen, warum sie 50 Cent abgezogen hat.

Answer 1

b) Der Einsatz beträgt 0,50 € pro Spiel. Entscheiden Sie, ob sich das Spiel auf lange Sicht lohnt.

Um den Erwartungswert des Gewinns zu berechnen, muss man vom Erwartungswert der Auszahlung den Erwartungswert des Einsatzes abziehen.

E(Gewinn) = E(Auszahlung) - E(Einsatz) = 1/36·5 + 1/18·2 - 0.5 = - 0.25 €

Das muss man aber nicht machen. Man kann auch nur den Erwartungswert der Auszahlung berechnen und dann direkt mit dem Einsatz vergleichen.

Ist der Erwartungswert der Auszahlung geringer als der Einsatz, lohnt sich das Spiel auf lange Sicht nicht.

E(Auszahlung) = 1/36·5 + 1/18·2 = 0.25 € < 0.50 €

Deine Freundin hat also den Erwartungswert des Gewinns berechnet. Was ich so bei dieser Aufgabe auch machen würde.

Comments

muss man vom Erwartungswert der Auszahlung den Erwartungswert des Einsatzes abziehen

Das halte ich für ziemlich unglücklich formuliert, da es das Verständnis nicht wirklich fördert. Man könnte sich die Frage stellen, wieso man den Erwartungswert des Einsatzes berechnen soll bzw. wie man den Erwartungswert eines konkreten Wertes berechnet. Das dürfte vielen gar nicht klar sein, auch wenn das intuitiv völlig klar sein dürfte.

Zudem reicht es ja auch vollkommen aus, den Einsatz direkt von der erwarteten Auszahlung abzuziehen, was sicherlich besser nachzuvollziehen ist.

Damit dürfte auch Folgendes deutlich klarer sein:

Ein Spiel ist dann fair, wenn die erwartete Auszahlung dem Einsatz (klar, wenn ich so viel bekomme, wie ich einsetze) entspricht oder wenn der erwartete Gewinn null beträgt.