Überdeckung eines Vierecks

Question

Nenne im Koordinatensystem die Eckpunkte des flächenkleinsten Vierecks, das von drei verschiedenen pythagoreischen Dreiecken vollständig und ohne Überschneidungen überdeckt wird.

Comments

Dürfen Teile der Dreiecke auch außerhalb des Vierecks liegen?

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Müssen es ganzzahlige Koordinaten sein?

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Sowohl für döschwo als auch für Mathecoach ist die Antwort 'NEIN'.

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Sind ähnliche Dreiecke als verschieden anzusehen?

Rechteck oder beliebiges Viereck?

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Ähnliche Dreiecke sind als verschieden anzusehen. Beliebiges Viereck.

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Du suchst so etwas?

(Beim obersten Punkt sind die Koordinaten vertauscht.)

Es geht aber noch kleiner:

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Meine KI gibt mir als explizite Lösung Fläche 300 und schreibt dazu:

"ob eine kleinere Fläche grundsätzlich möglich oder ausgeschlossen ist, erfordert eine gesonderte, nicht ganz kurze Optimalitätsbegründung. Wenn du eine wirklich minimale Lösung suchst (inkl. Beweis), würde ich empfehlen, die Fragestellung in einem spezialisierten Mathematikforum zu diskutieren."

:-)

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Wenn ich nicht irre, dann ist bei meiner ersten Zeichnung der Flächeninhalt = 276.

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Deine Skizze zeigt sehr schön, was gemeint ist. Mit dem Flächeninhalt irrst du dich. Die gesuchte Lösung ist übrigens kleiner. Ein Minimalitätsbeweis ist nicht gefordert.

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Habe nachgerechnet. Komme bei der ersten Zeichnung immer noch auf 276.

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döschwo: Deine zweite Skizze zeigt die gesuchte Lösung.

willyengland: Deine KI hat Unrecht. Der Minimalitätsbeweis ist nicht so schwierig, wie du behauptest.

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9–12–15 und 12–16–20 hatte meine KI auch, aber dann noch 15–20–25 dazu.

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Hier eine noch kleinere Lösung:

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Da hier KI erwähnt worden ist: Ich habe heute den Tschät-Tschihpitie mit der Aufgabe beschäftigt, denn es gibt noch eine kleinere Lösung. Sein Geplapper und seine Zeichnungen zum Thema waren halluzinös. Gelegentlich gab er auch Python-Code an. Der scheiterte öfter bereits an Syntax-Fehlern.

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Also bei mir liefert Chat-GPT dieselbe Lösung wie von willyengland.

Das zeigt ja, dass ein korrekter Umgang mit KI essentiell ist, um auch vernünftige Lösungen bzw. Antworten zu bekommen.

Answer 1

Fläche: 6 + 30 + 54 = 90.

Kleiner dürfte es übrigens nicht gehen.

Beweis:

\((3,4,5)\) und \((5,12,13)\) sind die kleinsten primitiven pyth. Tripel, deren Dreiecksflächen daher auch kleiner sind als alle anderen. Damit die Strecke \(AE\) keine weitere Ecke bildet, muss das Dreieck \(BED\) ähnlich zu \(ABC\) sein und wegen der Kathete 12, kommt dann damit nur ein vielfaches Tripel von \((3,4,5)\), also \((9,12,15)\) in Frage.