Wie rechne ich eine Ebenengleichung aus?

Question

ich wollte fragen ob man aus den Punkten A(4/2/4), B(7/-6/-1), C(-2/-10/0), D(-5/-2/5) eine Ebenengleichung in parameterform ausrechnen kann?

schon mal danke  :)

Comments

ich wollte nicht schreiben parameterdarstellung sonder allgemeine Ebenengleichung  :)

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"allgemeine Ebenengleichung?"

Meinst du eine Ebenengleichung in Koordinatenform: E: ax + by + cz + d=0.

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ja genau

geht das?

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Ich korrigiere auf
Ebenengleichung in Koordinatenform: E: ax + by + cz + d=0

Damit Punkte und Parameter nicht durcheinander geraten.

Answer 1

Für eine Ebenengleichung brauchst du nur 3 Punkte. Ich nehme mal A, B und C.

X = A + r * (B - A) + s * (C - A)

X = [4,2,4] + r * ([7,-6,-1] - [4,2,4]) + s * ([-2,-10,0] - [4,2,4])

X = [4,2,4] + r * [3, -8, -5] + s * [-6, -12, -4]

Damit bist du dann fertig.

Comments

wie würde ich es in allgemeiner form schreiben

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Welches ist eure allgemeine Form? Koordinatenform, Normalenform, hessische Normalenform?

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ax+by+cz=d

hoff das funktioniert überhaupt  :)

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Das ist die Koordinatenform. Du möchtest also dann die Parameterform in die Koordinatenform umwandeln.

X = [4,2,4] + r * [3, -8, -5] + s * [-6, -12, -4]

Wir rechnen uns den Normalenvektor über das Kreuzprodukt aus

N = [3, -8, -5] ⨯ [-6, -12, -4] = [-28, 42, -84] = -14 * [2, -3, 6]

Nun multiplizieren wir einen Teil der Parametergleichung mit dem Normalenvektor

X * N = [4, 2, 4] * N
X * [2, -3, 6] = [4, 2, 4] * [2, -3, 6]
2·x - 3·y + 6·z = 26

Answer 2

Ebenengleichung in Koordinatenform: E: ax + by + cz + d=0.

Sofern alle 4 Punkte in einer Ebene liegen, ist das kein Problem.

Berechne z.B. das Kreuzprodukt (auch Vektorprodukt genannt)
AB x AC     = (n₁, n₂, n₃)
Nun kannst du n₁, n₂, n₃ anstelle von a, b und c in die Koordinatengleichung einsetzen.

n₁x + n₂y + n₃z + d = 0.

Setze nun für noch irgendeinen Punkt auf der Ebene bei x, y und z ein. Da kommt d raus.

Kontrolle: Wenn für A, B, C und D das gleiche 'd' rauskommt, liegen die Punkte tatsächlich in einer Ebene.

Nachtrag: Du kannst auch mit der Antwort von Mathecoach weiterrechnen: wie bei https://www.mathelounge.de/14788/parameterform-in-koordinatenform-vektor-x-1-3-4-s-3-6-9-r-2-2-2

Da brauchst du nicht nochmals vorn zu beginnen.