Mannigfaltigkeit über Gleichungsdefinition?

Question

Aufgabe:

Es seien die Funktionen g1(x1,x2,x3,x4) = x1x3 -x2^2 ; g2(x1,x2,x3,x4) = x2x4 - x3^2 ; g3(x1,x2,x3,x4)= x1x4 - x2x3 gegeben. Man soll zeigen dass die Menge Q = {x∈R^4 \ {0} : g1(x) = g2(x) = g3(x) = 0} eine zweidimensionale Untermannigfaltigkeit ist.

Problem/Ansatz:

Es gibt verschiedene Definitionen von Mannigfaltigkeiten. Wir haben in den Vorlesungen meistens die Defintion mit der Parameterdarstellung verwendet. Hier sollte man aber eher die Definition der Mannigfalltigkeit als Nullstellengebilde mehrerer Funktionen verwenden.

Die Definition lautet: Eine Teilmene Q des R^4 ist genau dann eine 2-dimensionale Mannigfaltigkeit, wenn es zu jedem Punkt a aus Q eine offene Umgebung U aus R^4 und zwei stetig differenzierbare Funktionen f1,f2 von U nach R hat sodass Q geschnitten U = { alle x aus U: f1(x) = f2(x) = 0 }ist und dass der Rang der dazugeöhrigen Funktionalmatrix = 2 ist.

Ich kann leider gar nichts mit der Definition anfangen und müsste, einmal sehen wie man so eine Aufgabe löst. Daher wollte ich nachfragen, ob mir jemand helfen könnte?

Comments

Nur kurzer Hinweis - hab gerade wenig Zeit:

Zeige, dass die Matrix \(\frac{dg}{dx}\) überall den Rang 2 hat.

Dann liefert dir der Satz über implizite Funktionen die lokale Parametrisierbarkeit mit jeweils 2 Variablen.

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Hey danke, für die Antwort. Ich habe mir auch überlegt das so zu machen aber dann hätte die Differentialmatrix keinen vollen Rang also wäre nicht invertierbar und dann kann man den satz über die impliziten funktionen nicht verwenden oder?

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Diesen Satz meine ich: Guckst du hier

Du brauchst nur die Existenz einer Auflösung nach 2 Variablen.

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Der von Dir zitierte Satz verlangt, dass f Maximalrang hat, hier also 3?

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Nicht f sondern die Matrix der Ableitungen

Answer 1

Hallo,

ich denke, das ist ein "Gegenbeispiel": Wir haben die 3 Gleichungen mit 4 Unbekannten

$$x_1x_3-x_2^2=0\qquad x_2x_4-x_3^2=0\qquad x_1x_4-x_2x_3=0$$

und erwarten eine 1d-Untermannigfaltigkeit. Für die Beantwortung der Frage gehen wir direkt vor: Zunächst gibt es in Q wegen der ersten beiden Gleichungen keinen Punkt mit \(x_1=x_4=0\). Für Punkte aus Q mit \(x_1 \neq 0\) lässt sich eine Parametrisierung mit \((x_1,x_2)\)durch Auflösen der 1. und 3. Gleichung bestimmen:

 $$x_3=\frac{x_2^2}{x_1}\text{  und }x_4=\frac{x_2x_3}{x_1}=\frac{x_2^3}{x_1^2}$$

Die 2. Gleichung ist dann ebenfalls erfüllt:

$$x_2x_4-x_3^2=\frac{x_2^4}{x_1^2}-\frac{x_2^4}{x_1^2}=0$$

Analog für den Fall \(x_4 \neq 0\)

Answer 2

Hier eine etwas ausführlichere Lösung unter Verwendung des Satzes über implizite Funktionen:

Wir haben $$g(x) = \begin{pmatrix} g_1(x)\\g_2(x)\\g_3(x) \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} x_1x_3-x_2^2\\x_2x_4-x_3^2\\x_1x_4 - x_2x_3 \end{pmatrix}=0$$

Oder anders aufgeschrieben:
(1) \(x_1x_3 = x_2^2\)

(2) \(x_2x_4 = x_3^2\)

(3) \(x_1x_4 = x_2x_3\)

Beobachtung: Aus (1),(2)  ergibt sich: \(x_2=0 \Leftrightarrow x_3=0\)

Für \(x_2x_3 \neq 0\) ist (3) - also \(g_3(x)\) - abhängig von \(g_1\) und \(g_2\):

\( (1)\cdot (2) \Rightarrow x_1x_2x_3x_4 = (x_2x_3)^2\Rightarrow x_1x_4 = x_2x_3\)

Damit musst du für \(x_2x_3\neq 0\) nur \(\begin{pmatrix} g_1(x)\\g_2(x)\end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} x_1x_3-x_2^2\\x_2x_4-x_3^2\end{pmatrix}\) betrachten.

$$\frac{d}{dx}\begin{pmatrix} g_1(x)\\g_2(x)\end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} x_3 & -2x_2 & x_1 & 0\\0 & x_4 & -2x_3 & x_2\end{pmatrix}$$
Das lässt sich per Auflösungssatz lokal z. Bsp. nach \(x_1\) und \(x_4\) auflösen, da der zugehörige Rang 2 ist.

Nun noch der Fall \(x_2=x_3=0\), der die 2 Unterfälle \(x_1=0,x_4\neq 0\) und \(x_1\neq 0, x_4=0\) hat.

Ich mach nur \(x_1\neq 0, x_4=0\):

Gleichung (2) ist immer erfüllt und ist abhängig von (1) und (3), denn

\(x_2\cdot (3):\: x_1x_2x_4= x_2^2x_3 \stackrel{(1)}{\Leftrightarrow}x_1x_2x_4=x_1x_3^2\stackrel{x_1\neq 0}{\Leftrightarrow}x_2x_4=x_3^2\)

Damit brauch man hier nur betrachten:

$$\left.\frac{d}{dx}\begin{pmatrix} g_1(x)\\g_3(x)\end{pmatrix}\right|_{(x_1,0,0,0)} =  \begin{pmatrix} 0 & 0 & x_1 & 0\\0 & 0& 0& x_1\end{pmatrix}$$

Der Rang ist 2 und \(g_1,g_3\) lassen sich lokal nach \(x_3,x_4\) auflösen.

Der Fall \(x_1 = 0, x_4\neq 0\) geht analog.