Stokes Integralsatz Herleitung Frage

Question

Frage zu Stokes Integralsatz:

Also z.B. die z Komponente aus ∇xf gibt den Fluss entlang eines infintesmialen Rechtecks an, das parallel zur xy-Ebene ist. Analog geben die Kompenten den Fluss entlang den xz und yz Ebene an. Wenn das Rechteck schräg im R^3 liegt wird mit dem Normalenvektor das Skalarprodukt genommen, um den Fluss entlang dieses Rechtecks zu erhalten. Warum?

Danke.

Answer 1

Also z.B. die z Komponente aus ∇xf gibt den Fluss entlang eines infintesmialen Rechtecks an, das parallel zur xy-Ebene ist. Analog geben die Kompenten den Fluss entlang den xz und yz Ebene an.

Dann schau dir doch mal an, wie die Normalenvektoren zu diesen Ebenen aussehen. Ein Normalenvektor zur \(xy\)-Ebene ist etwa der Vektor \(\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\). Skalarmultipliziert man diesen Vektor nun mit \(\nabla\times f\), so ergibt sich eben genau die \(z\)-Komponente, wie von dir beschrieben.

Es wird also auch in den von dir genannten Fällen das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor berechnet. Das liegt daran, dass der Fluss immer senkrecht zur Fläche gemessen wird und der Normalenvektor eben senkrecht auf dieser Fläche steht.

Comments

Dank für deine Antwort. Das ist mir auch schon aufgefallen, ich dachte, dass hätte was zu tun mit der Projektion eines schrägen Rechtecks in die xy-Ebene, xz-Ebene und yz-Ebene, wo man den Fluss von betrachtet, um so den gesamt Fluss des schrägen Rechtecks zu beschreiben, wo sich dann innerhalb der Rechtecke die Flüsse aufheben und nur die am Rand beibehalten werden, weshalb man das mit einem Linienintegral beschreiben kann.