Berechnen Sie die folgende Extremwertaufgabe

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie die folgende Extremwertaufgabe, indem Sie die Breite und Höhe des
rechteckigen Fensterteils ermitteln, mit denen der maximale Umfang erzielt wird.

Ein Fenster, das aus einem unteren, rechteckigen Fensterteil und einem darauf oben
aufgesetzten, kreisförmigen Rundbogen besteht, soll bei einem gegebenen Fensterum-
fang von 10 m eine größtmögliche Glasfläche haben.
Die Fläche der Fensterrahmen ist bei der Berechnung zu vernachlässigen.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht, wie ich die erste Frage über dem Bild nach dem maximalen Umfang berechnen soll.

Die zweite Frage unter dem Bild nach der maximalen Fläche bei gegebenem Umfang ist mir klarer.

Comments

Der erste Satz ist unverständlich. Überprüfe Deinen Text auf Vollständigkeit und Richtigkeit.

Gegebenenfalls kontaktieren den Aufgabensteller

---

Es steht genau so in der Übungsaufgabe.

---

"mit denen der maximale Umfang erzielt wird"?

---

Ich verstehe nicht, wie ich die erste Frage über dem Bild nach dem maximalen Umfang berechnen soll.

Das erfordert eine gegebene Größe, z.B. die Fläche. Da ist die Aufgabenstellung unvollständig oder man sucht nach einer Lösung die von der Fläche (als Parameter) abhängig ist.

---

Da es keine Buchseite ist, stelle ich mal ein Foto ein:

Text erkannt:

Aufgabe 2
Berechnen Sie die folgende Extremwertaufgabe, indem Sie die Breite und Höhe des rechteckigen Fensterteils ermitteln, mit denen der maximale Umfang erzielt wird.

Ein Fenster, das aus einem unteren, rechteckigen Fensterteil und einem darauf oben aufgesetzten, kreisförmigen Rundbogen besteht, soll bei einem gegebenen Fensterumfang von 10 m eine größtmögliche Glasfläche haben.

Die Fläche der Fensterrahmen ist bei der Berechnung zu vernachlässigen.

---

Dann halte ich das für einen Druckfehler. Ansonsten macht ja auch " folgende Extremwertaufgabe " keinen Sinn

---

Ich denke, der erste Satz ist nur eine Einleitung zur unteren Frage und daher nicht extra zu beantworten.

---

wir sind uns sicher einig, dass hier 'mal wieder ein heftiger Fehler in der Mathematikaufgabe auftaucht. Wird da nicht gegengelesen?

Ein Aufgabe mit gleichem Inhalt ist unter

mit Lösung beschrieben.

Answer 1

Minimaler Umfang bei gegebener Fläche

Nebenbedingung

A = 2·r·h + 1/2·pi·r^2 --> h = A/(2·r) - pi/4·r

Hauptbedingung

U = 2·r + 2·h + pi·r

Zielfunktion

U(r) = 2·r + 2·(A/(2·r) - pi/4·r) + pi·r = A/r + (pi + 4)/2·r

U'(r) = (pi + 4)/2 - A/r^2 = 0 → r = √(2·A/(pi + 4))

h = A/(2·√(2·A/(pi + 4))) - pi/4·√(2·A/(pi + 4)) = √(2·A/(pi + 4)) = r

Gefragte Werte

Die Breite des rechteckigen Teils ist also 2·r und die Höhe ist r.

Ich gehe allerdings auch davon aus das der Aufgabentext über der Zeichnung fehlerhaft ist und eigentlich die Fläche zu maximieren ist. Denn der Umfang würde oben ja auch minimal und nicht maximal werden.

Comments

Größte Fläche bei gegebenem Umfang

Nebenbedingung

U = 2·r + 2·h + pi·r --> h = U/2 - (pi + 2)/2·r

Hauptbedingung

A = 2·r·h + pi/2·r^2

Zielfunktion

A(r) = 2·r·(U/2 - (pi + 2)/2·r) + pi/2·r^2 = U·r - (pi + 4)/2·r^2

A'(r) = U - (pi + 4)·r = 0 --> r = U/(pi + 4)

h = U/2 - (pi + 2)/2·(U/(pi + 4)) = U/(pi + 4) = r

Gefragte Werte

Die Breite des rechteckigen Teils ist also 2·r und die Höhe ist r.

Für einen Umfang von 10 m also

Breite = 2·10/(pi + 4) ≈ 2.800 m

Höhe = 10/(pi + 4) ≈ 1.400 m