Eine Aufzugfahrt analysieren

Question

Aufgabe:

Der Personenaufzug in dem neuen, 110 m hohen Gebäude soll bei der Express-Fahrt
vom Erdgeschoss in den 28. Stock eine Höchstgeschwindigkeit von 9 m/s errei-
chen. Dabei sollen die üblichen Sicherheits- und Komfortstandards berücksichtigt
werden. Diese Standards beinhalten, dass die Beschleunigung der Aufzugkabine und
der sog. Ruck (die zeitliche Änderung der Beschleunigung) bestimmte Höchstwerte
nicht überschreiten.
Die Fahrtstrecke beträgt bei der Express-Fahrt genau 100 m. Auf der gesamten
Fahrt soll die Momentanbeschleunigung unter 1,2 m/s² und der Ruck unter 1,5 m/s³  blei-
ben (dies sind Werte, bei denen die Fahrt noch als komfortabel empfunden wird).
Das Architekturbüro hat ein Aufzugsunternehmen beauftragt, zu prüfen, ob diese An-
forderungen zusammen mit der Höchstgeschwindigkeit von 9 m/s realisierbar sind.
Das Planungsbüro des Aufzugsherstellers hat daraufhin einen Vorschlag für die Be-
schleunigungsphasen der Fahrt erarbeitet. Die Abbildung zeigt den vorgeschlagenen
zeitlichen Verlauf der Momentanbeschleunigung während der Fahrt.
Skizzieren Sie jeweils den zeitlichen Verlauf der Momentangeschwindigkeit v (t )und
der seit dem Fahrtbeginn zurückgelegten Strecke s (t )(es genügt eine Skizze, die den
jeweiligen Verlauf der Kurven qualitativ richtig wiedergibt).
Prüfen Sie, ob der vorgeschlagene Fahrtverlauf das Ziel einer Maximalgeschwindig-
keit von 9 m/s erreicht und dabei die vorgegebenen Höchstwerte für den Ruck und
die Momentanbeschleunigung einhält.
Prüfen Sie, ob der Fahrstuhl am Ende der Fahrt tatsächlich die Strecke von 100 m
zurückgelegt hat.
Entwerfen Sie einen abgeänderten Fahrtverlauf, der diese Anforderung erfüllt, falls
das Ergebnis der Prüfung negativ ist.

Problem/Ansatz:

Hier könnte ich etwas Hilfe gebrauchen.

Comments

Das ist durchaus ein rein mathematisches Problem mit Anwendungsbezug (Stichwort Integralrechnung und Ableitungen). Die Verschiebung finde ich schwachsinnig.

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Diese konkrete Verschiebung war mir auch nicht einleuchtend. Und generell: Was sollen Verschiebungen (die ja gar keine sind, sondern nur Kopien an andere Stelle), wenn die weitere Kommentierung/Beantwortung an der Originalstelle nicht gesperrt wird?

Answer 1

da muss ich Apfelmännchen zustimmen. Meine Antwort hier noch einmal im Kommentar. Das habe ich aber nummerisch gelöst.

die Geschwindigkeit ist das Integral der Beschleunigung, der Weg ist das Integral der Geschwindigkeit. Diese Schritte müssen abschnittsweise durchgeführt und lückenlose aneinandergereiht werden.

Bitte nachrechnen und bei Fragen melden.

Comments

Danke! Wie löst man so etwas numerisch? Der Zusammenhang a,v,s ist mir klar, aber dann muß man für s  jedes Teilstück doppelt integrieren und aneinanderstückeln, oder? Geht das nicht einfacher?

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Basis für das Integrieren ist die Zeit. Ja, du muss für jeden zeitlichen Abschnitt doppelt integrieren und aneinderstückeln.

Nummerisch ist "Matlab" heutzutage wohl das Standardwerkzeug. Heute fehlt mir der Zugriff und ich löse das mit "Excel": vier Spalten: t, a, v, s. t in 0,01 s-Schritten auftragen. a aus der Aufgabenstellung eintragen. Integriert wird dann durch addieren mit Berücksichtigung des zeitlichen Inkrements.

Ich denke aber, dass hier klassisch gelöst werden soll. Um das Integrieren kommst du nicht herum, es sind ja nur "Standard-Integrationen".

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Danke nochmal. Meinst Du es ist ok, wegen den Symmetrien nur von 0 bis 10,15 zu rechnen?

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gute Idee ! Ja, das geht. Die Geschwindigkeit ist dann achsensymmetrisch, der Weg ist punktsymmetrisch.

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Ich habe die Beschleunigungs-Zeit-Funktion mal in Geogebra abschnittsweise definiert.

Das geht also recht gut. Darauf aufbauend kann Geogebra, dann auch mit den Integralen rechnen.

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Ich glaube nicht, dass der Kern der Aufgabe darin besteht, Integrale zu bestimmen.

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Ich glaube nicht, dass der Kern der Aufgabe darin besteht, Integrale zu bestimmen.

Was zu machen ist, ist ja klar definiert. Wer also lesen kann, ist klar im Vorteil.

Skizzieren Sie jeweils den zeitlichen Verlauf der Momentangeschwindigkeit v(t) und
der seit dem Fahrtbeginn zurückgelegten Strecke s(t) (es genügt eine Skizze, die den jeweiligen Verlauf der Kurven qualitativ richtig wiedergibt).

Prüfen Sie, ob der vorgeschlagene Fahrtverlauf das Ziel einer Maximalgeschwindigkeit von 9 m/s erreicht und dabei die vorgegebenen Höchstwerte für den Ruck und die Momentanbeschleunigung einhält.

Prüfen Sie, ob der Fahrstuhl am Ende der Fahrt tatsächlich die Strecke von 100 m
zurückgelegt hat.

Entwerfen Sie einen abgeänderten Fahrtverlauf, der diese Anforderung erfüllt, falls
das Ergebnis der Prüfung negativ ist.

Die Wahl wie man irgendwas prüft ist einem frei gestellt.

Eine Modellierung mit Geogebra würde man also normal nicht machen, weil nicht gefordert. Es hilft nur beim Vorstellen und macht sich bei Präsentationen gut.

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Das ist eine Übungsaufgabe zur Integralrechnung. Die Integrale sind nicht schwer, aber v und s sind ja dann auch abschnittsweise und müssen zusammenpassen, das ist etwas nervig und dauert. Bei mir ist die Prüfung negativ.

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Bei mir ist die Prüfung negativ.

Du hast aber schon gelesen, dass mehrere Sachen zu prüfen sind oder ?

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Wer also lesen kann, ist klar im Vorteil.

Dann lies mal:

Skizzieren Sie jeweils den zeitlichen Verlauf der Momentangeschwindigkeit v (t )und
der seit dem Fahrtbeginn zurückgelegten Strecke s (t )(es genügt eine Skizze, die den
jeweiligen Verlauf der Kurven qualitativ richtig wiedergibt).

Das erfordert keine Berechnung von Integralen.

Das ist eine Übungsaufgabe zur Integralrechnung.

Das ist mir schon klar, aber man braucht hier keine Integrale. Das wollte ich damit sagen, weil hier alle so auf den Integralen herumpochen.

Die Integrale sind nicht schwer, aber v und s sind ja dann auch abschnittsweise und müssen zusammenpassen, das ist etwas nervig und dauert.

Du musst doch nur wissen, wie sich die Graphen verhalten, wenn deren Ableitung entsprechend konstant bzw. linear ist. Im konstanten Fall ist die Steigung sogar direkt ablesbar.

Du hast aber schon gelesen, dass mehrere Sachen zu prüfen sind oder ?

Wie war das? Wer lesen kann, ist klar im Vorteil?

Prüfen Sie, ob der Fahrstuhl am Ende der Fahrt tatsächlich die Strecke von 100 m
zurückgelegt hat.
Entwerfen Sie einen abgeänderten Fahrtverlauf, der diese Anforderung erfüllt, falls
das Ergebnis der Prüfung negativ ist.

Das bezieht sich hier auf eine einzige Anforderung. Die Äußerung vom FS war also durchaus richtig. Es spielt für genau diese Prüfung keine Rolle, dass zusätzlich noch andere Dinge zu prüfen sind, mal ganz davon abgesehen, dass eine Prüfung auch mehrere Punkte umfassen kann.

Dass man hier immer so extrem auf die sprachlichen Gegebenheiten herumpochen muss... vor allem mit dem Wissen, dass viele Aufgaben ohnehin schlecht formuliert sind.

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Ich verstehe nicht, geht das ohne Integrale?

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Klar, die erste Fläche zwischen Graph der Beschleunigung und \(x\)-Achse liefert dir die Geschwindigkeit, bis zu der der Aufzug beschleunigt. Damit lässt sich leicht prüfen, ob die 9 m/s eingehalten werden. Mach dir also die geometrische Bedeutung des Integrals bewusst. Damit lassen sich dann auch die gewünschten Graphen qualitativ recht gut skizzieren, was meiner Meinung nach der Kern der Aufgabe ist. Die Prüfung der einzelnen Punkte kann dann über eine einfache Flächenberechnung erfolgen.

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Und die Strecke?

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Fläche unter dem Geschwindigkeitsgraphen? Ist ja auch annähernd ein Trapez.

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Als Näherung ok, die genauen Werte bekommt man so aber nicht heraus, den neuen Vorschlag auch nicht. Du meinst doch eigentlich das schöne Diagramm von Karl und dann die Flächen abschätzen.

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Wo verlangt die Aufgabe denn exakte Werte?

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Die Fahrtstrecke beträgt bei der Express-Fahrt genau 100 m

Prüfen Sie, ob der vorgeschlagene Fahrtverlauf das Ziel einer Maximalgeschwindig-
keit von 9 m/s erreicht und dabei die vorgegebenen Höchstwerte für den Ruck und
die Momentanbeschleunigung einhält.
Prüfen Sie, ob der Fahrstuhl am Ende der Fahrt tatsächlich die Strecke von 100 m
zurückgelegt hat.

ich interpretiere das jedenfalls so, dass es exakt 100m sein müssen und die Max Werte nicht überschritten werden dürfen

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Wenn die Werte nicht eingehalten werden, ist es ja unerheblich, ob es 110 m, 95 m oder 120 m sind. Dafür brauche ich erst einmal keinen exakten Wert.

Und selbst, wenn man mit Integralen rechnet, so ist es nicht notwendig, diese numerisch zu lösen, da sie sehr einfach sind.

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Entwerfen Sie einen abgeänderten Fahrtverlauf, der diese Anforderung erfüllt, falls
das Ergebnis der Prüfung negativ ist.

ohne genaue Rechnung geht das nicht, oder?

Wie bereits gesagt ist das eine Übungsaufgabe aus dem Kapitel Integralrechnung. Die Integrale zu rechnen ist nicht schwer, es dauert nur lange die Stücke alle zusammenzusetzen und das für v und s, da man exakt rechnen muß.

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ohne genaue Rechnung geht das nicht, oder?

Wenn es langt den Zeitraum zu verlängern oder zu verkürzen bei dem der Fahrstuhl keine Beschleunigung erfährt also mit konstander Geschwindigkeit fährt, kann man das ohne großartige Rechnung so anpassen, dass exakt 100 m zurückgelegt werden. Vorausgesetzt man hat das erste auch exakt berechnet und nicht nur abgeschätzt. Und ich gehe auch davon aus, dass es schon exakt zu berechnen und nicht nur abzuschätzen ist. Gerade, wenn es aus dem Bereich der Integralrechnung kommt. Ansonsten hatten wir auch schon gleichmäßig beschleunigte Bewegungen weit vor der Integralrechnung in Physik und da hatten wir auch schon deutlich komplexere Aufgaben in der ein LKW einen anderen LKW auf der Autobahn überholt.

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Ja genau, so habe ich das auch gemacht, da kriege ich dann als Ende statt 20,3 s 19,41s heraus.

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Rechnen muss man schon etwas, aber es geht wie gesagt komplett ohne Integrale, wenn man die Symmetrie der Graphen ausnutzt. Dann bekommt man für die Fläche unter dem Geschwindigkeitsgraphen nämlich auch eine Trapezfläche und damit einen exakten Wert für die Strecke. Die Anpassung der Fahrt ist dann nicht mehr schwierig.

Gerade zu Beginn der Integralrechnung geht es häufig auch um Aufgaben, wo man das Integral gerade mit Hilfe entsprechender Flächen bestimmen soll.

Was da aber lange dauern soll, die Stücke zusammenzusetzen, erschließt sich mir nicht. Du abgebildeten Funktionen sind mehr oder weniger trivial und die Integrationsgrenzen lassen sich aus dem Bild auch ohne größere Mühe ablesen.

Dein Ergebnis stimmt. Die Strecke ist nämlich \(\frac{20+4}{2}\cdot 9=108\) Meter lang, weshalb man die Dauer der Höchstgeschwindigkeit um \(\frac{8}{9}\) Sekunden kürzt.

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Danke an Karl60 und Mathecoach für die zielführenden Antworten.

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der Inhalt der Aufgabe ist eigentlich klar. Jetzt geht es aber um die Umsetzung, was wird erwartet, um welche Genauigkeit geht es usw.. Ich bin mit Aufgaben von der 1. Klasse bis zum Studium befasst und stoße immer wieder auf diesen "Nebel". Um mich einordnen zu können: den Umstieg von "Lotus 123" auf "Excel" habe ich mitgemacht und eine Lehrkraft bin ich nicht.

Die Aufgabe in Geogebra darzustellen, finde ich sehr gut.

Bei meiner Excel-Darstellung gibt es die Änderung der Beschleunigung als Variable. Die errechnete Strecke ist 108 m, gefordert sind 100 m. Durch Variation der Variablen kann man schnell 100 m einstellen. Statt 1,5 m/s³ kommt man mit 1,388889 m/s³ gut zum Ziel.

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Ich habe das nicht nachgerechnet aber vermute, das Du dann die geforderte max. geschwindigkeit von 9m/s nicht kriegst?

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du vermutest richtig. Mit der der max. Änderung der Beschleunigung von 1,3889 m/s³ ist die höchste Geschwindigkeit 8,3333 m/s. Bei 1,5 m/s³ muss die Zeitdauer der höchsten Geschwindigkeit gekürzt werden um auf 100 m zu kommen.

Answer 2

Skizziere zunächst die Graphen von \(v\) und \(s\) und prüfe anschließend die Werte durch Flächenberechnung (geometrische Bedeutung des Integrals). Nutze dafür die Zusammenhänge

\(s'(t)=v(t)\) und \(v'(t)=a(t)\).

Das hilft dann auch, den Fahrtverlauf entsprechend anzupassen, weil man hier nur mit Flächen arbeiten muss. Integrale sind meiner Meinung nach nicht notwendig, um die Aufgabe zu lösen, da keine exakten Werte benötigt werden.