Eine Aufzugfahrt analysieren

Question

Aufgabe:

Der Personenaufzug in dem neuen, 110 m hohen Gebäude soll bei der Express-Fahrt
vom Erdgeschoss in den 28. Stock eine Höchstgeschwindigkeit von 9 m/s errei-
chen. Dabei sollen die üblichen Sicherheits- und Komfortstandards berücksichtigt
werden. Diese Standards beinhalten, dass die Beschleunigung der Aufzugkabine und
der sog. Ruck (die zeitliche Änderung der Beschleunigung) bestimmte Höchstwerte
nicht überschreiten.
Die Fahrtstrecke beträgt bei der Express-Fahrt genau 100 m. Auf der gesamten
Fahrt soll die Momentanbeschleunigung unter 1,2 m/s² und der Ruck unter 1,5 m/s³  blei-
ben (dies sind Werte, bei denen die Fahrt noch als komfortabel empfunden wird).
Das Architekturbüro hat ein Aufzugsunternehmen beauftragt, zu prüfen, ob diese An-
forderungen zusammen mit der Höchstgeschwindigkeit von 9 m/s realisierbar sind.
Das Planungsbüro des Aufzugsherstellers hat daraufhin einen Vorschlag für die Be-
schleunigungsphasen der Fahrt erarbeitet. Die Abbildung zeigt den vorgeschlagenen
zeitlichen Verlauf der Momentanbeschleunigung während der Fahrt.
Skizzieren Sie jeweils den zeitlichen Verlauf der Momentangeschwindigkeit v (t )und
der seit dem Fahrtbeginn zurückgelegten Strecke s (t )(es genügt eine Skizze, die den
jeweiligen Verlauf der Kurven qualitativ richtig wiedergibt).
Prüfen Sie, ob der vorgeschlagene Fahrtverlauf das Ziel einer Maximalgeschwindig-
keit von 9 m/s erreicht und dabei die vorgegebenen Höchstwerte für den Ruck und
die Momentanbeschleunigung einhält.
Prüfen Sie, ob der Fahrstuhl am Ende der Fahrt tatsächlich die Strecke von 100 m
zurückgelegt hat.
Entwerfen Sie einen abgeänderten Fahrtverlauf, der diese Anforderung erfüllt, falls
das Ergebnis der Prüfung negativ ist.

Problem/Ansatz:

Hier könnte ich etwas Hilfe gebrauchen.

Comments

Das ist durchaus ein rein mathematisches Problem mit Anwendungsbezug (Stichwort Integralrechnung und Ableitungen). Die Verschiebung finde ich schwachsinnig.

Answer 1

da muss ich Apfelmännchen zustimmen. Meine Antwort hier noch einmal im Kommentar. Das habe ich aber nummerisch gelöst.

die Geschwindigkeit ist das Integral der Beschleunigung, der Weg ist das Integral der Geschwindigkeit. Diese Schritte müssen abschnittsweise durchgeführt und lückenlose aneinandergereiht werden.

Bitte nachrechnen und bei Fragen melden.

Comments

Danke! Wie löst man so etwas numerisch? Der Zusammenhang a,v,s ist mir klar, aber dann muß man für s  jedes Teilstück doppelt integrieren und aneinanderstückeln, oder? Geht das nicht einfacher?

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Basis für das Integrieren ist die Zeit. Ja, du muss für jeden zeitlichen Abschnitt doppelt integrieren und aneinderstückeln.

Nummerisch ist "Matlab" heutzutage wohl das Standardwerkzeug. Heute fehlt mir der Zugriff und ich löse das mit "Excel": vier Spalten: t, a, v, s. t in 0,01 s-Schritten auftragen. a aus der Aufgabenstellung eintragen. Integriert wird dann durch addieren mit Berücksichtigung des zeitlichen Inkrements.

Ich denke aber, dass hier klassisch gelöst werden soll. Um das Integrieren kommst du nicht herum, es sind ja nur "Standard-Integrationen".

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Danke nochmal. Meinst Du es ist ok, wegen den Symmetrien nur von 0 bis 10,15 zu rechnen?

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gute Idee ! Ja, das geht. Die Geschwindigkeit ist dann achsensymmetrisch, der Weg ist punktsymmetrisch.

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Ich habe die Beschleunigungs-Zeit-Funktion mal in Geogebra abschnittsweise definiert.

Das geht also recht gut. Darauf aufbauend kann Geogebra, dann auch mit den Integralen rechnen.

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Ich glaube nicht, dass der Kern der Aufgabe darin besteht, Integrale zu bestimmen.

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Ich glaube nicht, dass der Kern der Aufgabe darin besteht, Integrale zu bestimmen.

Was zu machen ist, ist ja klar definiert. Wer also lesen kann, ist klar im Vorteil.

keit von 9 m/s erreicht und dabei die vorgegebenen Höchstwerte für den Ruck und
die Momentanbeschleunigung einhält.

Prüfen Sie, ob der Fahrstuhl am Ende der Fahrt tatsächlich die Strecke von 100 m
zurückgelegt hat.

Entwerfen Sie einen abgeänderten Fahrtverlauf, der diese Anforderung erfüllt, falls
das Ergebnis der Prüfung negativ ist.

Die Wahl wie man irgendwas prüft ist einem frei gestellt.

Eine Modellierung mit Geogebra würde man also normal nicht machen, weil nicht gefordert. Es hilft nur beim Vorstellen und macht sich bei Präsentationen gut.

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Das ist eine Übungsaufgabe zur Integralrechnung. Die Integrale sind nicht schwer, aber v und s sind ja dann auch abschnittsweise und müssen zusammenpassen, das ist etwas nervig und dauert. Bei mir ist die Prüfung negativ.

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Bei mir ist die Prüfung negativ.

Du hast aber schon gelesen, dass mehrere Sachen zu prüfen sind oder ?

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Wer also lesen kann, ist klar im Vorteil.

Dann lies mal:

Skizzieren Sie jeweils den zeitlichen Verlauf der Momentangeschwindigkeit v (t )und
der seit dem Fahrtbeginn zurückgelegten Strecke s (t )(es genügt eine Skizze, die den
jeweiligen Verlauf der Kurven qualitativ richtig wiedergibt).

Das erfordert keine Berechnung von Integralen.

Das ist eine Übungsaufgabe zur Integralrechnung.

Das ist mir schon klar, aber man braucht hier keine Integrale. Das wollte ich damit sagen, weil hier alle so auf den Integralen herumpochen.

Die Integrale sind nicht schwer, aber v und s sind ja dann auch abschnittsweise und müssen zusammenpassen, das ist etwas nervig und dauert.

Du musst doch nur wissen, wie sich die Graphen verhalten, wenn deren Ableitung entsprechend konstant bzw. linear ist. Im konstanten Fall ist die Steigung sogar direkt ablesbar.

Du hast aber schon gelesen, dass mehrere Sachen zu prüfen sind oder ?

Wie war das? Wer lesen kann, ist klar im Vorteil?

Prüfen Sie, ob der Fahrstuhl am Ende der Fahrt tatsächlich die Strecke von 100 m
zurückgelegt hat.
Entwerfen Sie einen abgeänderten Fahrtverlauf, der diese Anforderung erfüllt, falls
das Ergebnis der Prüfung negativ ist.

Das bezieht sich hier auf eine einzige Anforderung. Die Äußerung vom FS war also durchaus richtig. Es spielt für genau diese Prüfung keine Rolle, dass zusätzlich noch andere Dinge zu prüfen sind, mal ganz davon abgesehen, dass eine Prüfung auch mehrere Punkte umfassen kann.

Dass man hier immer so extrem auf die sprachlichen Gegebenheiten herumpochen muss... vor allem mit dem Wissen, dass viele Aufgaben ohnehin schlecht formuliert sind.

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Ich verstehe nicht, geht das ohne Integrale?

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Klar, die erste Fläche zwischen Graph der Beschleunigung und \(x\)-Achse liefert dir die Geschwindigkeit, bis zu der der Aufzug beschleunigt. Damit lässt sich leicht prüfen, ob die 9 m/s eingehalten werden. Mach dir also die geometrische Bedeutung des Integrals bewusst. Damit lassen sich dann auch die gewünschten Graphen qualitativ recht gut skizzieren, was meiner Meinung nach der Kern der Aufgabe ist. Die Prüfung der einzelnen Punkte kann dann über eine einfache Flächenberechnung erfolgen.

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Und die Strecke?

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Fläche unter dem Geschwindigkeitsgraphen? Ist ja auch annähernd ein Trapez.

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Als Näherung ok, die genauen Werte bekommt man so aber nicht heraus, den neuen Vorschlag auch nicht. Du meinst doch eigentlich das schöne Diagramm von Karl und dann die Flächen abschätzen.

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Wo verlangt die Aufgabe denn exakte Werte?

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Die Fahrtstrecke beträgt bei der Express-Fahrt genau 100 m

Prüfen Sie, ob der vorgeschlagene Fahrtverlauf das Ziel einer Maximalgeschwindig-
keit von 9 m/s erreicht und dabei die vorgegebenen Höchstwerte für den Ruck und
die Momentanbeschleunigung einhält.
Prüfen Sie, ob der Fahrstuhl am Ende der Fahrt tatsächlich die Strecke von 100 m
zurückgelegt hat.

ich interpretiere das jedenfalls so, dass es exakt 100m sein müssen und die Max Werte nicht überschritten werden dürfen

Answer 2

Skizziere zunächst die Graphen von \(v\) und \(s\) und prüfe anschließend die Werte durch Flächenberechnung (geometrische Bedeutung des Integrals). Nutze dafür die Zusammenhänge

\(s'(t)=v(t)\) und \(v'(t)=a(t)\).

Das hilft dann auch, den Fahrtverlauf entsprechend anzupassen, weil man hier nur mit Flächen arbeiten muss. Integrale sind meiner Meinung nach nicht notwendig, um die Aufgabe zu lösen, da keine exakten Werte benötigt werden.