Wie verfolge ich den Ansatz?

Question

Aufgabe:

Formuliere eine einfache Regel (Arbeitsanweisung) wie man die exponenten in den einzelnen Summanden bestimmen kann. Verwende dazu folgendes: (a+b)^3 → a^3 + 3a^{2}b + 3ab^2 + b^3

Problem/Ansatz:

Wie verfolge ich den Ansatz?

Answer 1

Es gilt der binomische Lehrsatz

https://de.wikipedia.org/wiki/Binomischer_Lehrsatz

(a + b)^3 = (3 über 0)·a^3·b^0 + (3 über 1)·a^2·b^1 + (3 über 2)·a^1·b^2 + (3 über 3)·a^0·b^3

Kannst du die Struktur erkennen? Kennst du den Binomialkoeffizienten und kannst ihn bestimmen?

Comments

(a + b)^2
= (a + b)(a + b)
= a^2 + ab + ab + b^2
= a^2 + 2ab + b^2

(a + b)^3
= (a + b)(a + b)^2
= (a + b)(a^2 + 2ab + b^2)
= a^3 + 2a^{2}b + ab^2 + a^{2}b + 2ab^2 + b^3
= a^3 + 3a^{2}b + 3ab^2 + b^3

Answer 2

Guck dir doch mal das Muster der Exponenten an. Dann solltest du doch eine Anleitung schreiben können, wie man diese bestimmt. Allerdings ist bei der Aufgabe nicht ganz klar, wovon genau die Exponenten bestimmt werden sollen. Von \((a+b)^3\)?

Siehe auch den binomischen Lehrsatz.

Comments

Es ist nicht gegeben, wovon genau der Exponent bestimmt werden soll- deshalb ist es auch so unklar. :// Es soll eine allgemeingültige Anleitung formuliert werden, das (a+b)^3 ist nur ein Beispiel an dem man sich wohl orientieren soll.

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Okay, dann bezieht sich das möglicherweise allgemein auf den binomischen Lehrsatz zur Bestimmung von \((a+b)^n\). Da kann ich aber auch nur mutmaßen.

Wenn solche Aufgabenstellungen unklar sind, weil zum Beispiel etwas fehlt, ist der Autor der Aufgabe die erste Anlaufstelle.

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Nun ja, es ist aber auch nicht sehr schwer damit die Vermutung für allgemeines n hinzuschreiben, solange es nur um die Exponenten geht, oder?

Answer 3

Aloha :)

Schreibe den Term anstatt mit einer Potenz mit Malzeichen auf:$$(a+b)^3=(a+b)\cdot(a+b)\cdot(a+b)$$

Zum Ausrechnen kannst du das Distributiv-Gesetz nutzen. Dazu wählst du aus jeder der 3 Klammern einen Summanden aus, multiplizierst diese 3 miteinander und addierst am Ende alle erhaltenen Terme auf.

Du kannst aus jeder Klammer ein \(a\) auswählen:$$a\cdot a\cdot a=a^3$$

Du kannst aus einer Klammer ein \(b\) auswählen und aus den zwei anderen Klammern ein \(a\):$$b\cdot a\cdot a+a\cdot b\cdot a+a\cdot a\cdot b=3a^2b$$

Du kannst aus einer Klammer ein \(a\) auswählen und aus den zwei anderen Klammern ein \(b\):$$a\cdot b\cdot b+b\cdot a\cdot b+b\cdot b\cdot a=3ab^2$$

Du kannst as jeder Klammer ein \(b\) auwählen:$$b\cdot b\cdot b=b^3$$

Zusammengefasst hast du also herausgefunden, dass gilt:$$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$