Beweis Eigenschaft zeigen Matrizen

Question

Aufgabe:

Seien \( A, B \) und \( C \) drei \( n \times n \)-Matrizen mit komplexen Einträgen mit den Eigenschaften

\( A^{2}=B^{2}=C^{2} \quad \text { und } \quad B^{3}=A B C+2 I . \)

a. Man zeige, dass \( A=-C \).

b. Man zeige, dass \( A^{6}=I \).

Problem/Ansatz:

a) habe ich bereits gezeigt aber b) bereitet mir Schwierigkeiten

Answer 1

Probiere doch einfach mal verschiedene Dinge aus.

\(A^6=A^2A^2A^2=A^2B^2B^2=A^2B^3B=\dots\) oder

\(A^6=B^6=(ABC+2I)^2=\dots\)

Etwas anderes würde ich jetzt auch nicht machen. Solange probieren und umformen, bis man darauf kommt.

Comments

Wenn \(A^2B^2C^2=(ABC)^2\) überhaupt richtig ist, sollte das begründet werden.

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Oh... Stimmt. Die Matrixmultiplikation ist im Allgemeinen ja nicht kommutativ.

Ändert jetzt aber erstmal nichts daran, Dinge auszuprobieren. Dabei können dann durchaus auch solche Leichtsinnsfehler passieren. Vorführeffekt quasi. ;)

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Yep, man muss einfach mal anfangen und was ausprobieren. Manchmal ist etwas Ausdauer gefragt. Ob und was der FS schon versucht, ist unklar.

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@am Man sieht am Beweis übrigens, dass die Matrizen tatsächlich kommutieren, aber trivial ist das nicht.

Answer 2

Woher hast Du die Aufgabe?
google findet sie als Aufgabe 2 der Internat. Math. Competition for Univ. Students 2023, was für mich heißt, dass man keine leichte Lösung erwarten darf. Und dort ist auch noch als Tipp "Faktorisiere \(B^3-ABC\)" angegeben.

Eine Lösung dazu findest Du im Internet.

Answer 3

Ich finde es interessant, dass man, wenn man Teil a. hat, ziemlich schnell zeigen kann, dass schon gelten muss (siehe unten):$$B^3 = I$$ Wegen \(A^6 = B^6\) ist man dann schon fertig.

$$B^3 = 2I + ABC \stackrel{C=-A}{=} 2I-ABA \quad (1)$$$$\Rightarrow B^6 = A^6 = (2I-ABA)^2= 4I - 4ABA + ABAABA \quad (2)$$Nun haben wir wegen \(A^2=B^2\) folgende Kommutationsrelation: \(BA^2=A^2B\)

Das wenden wir auf \(ABAABA\) an:
$$ABAABA= ABA^2BA = ABBA^2A = AB^2A^3 = A^6$$

Das setzen wir in (2) ein:
$$(2) \Leftrightarrow A^6 = 4I - 4ABA + A^6 \Leftrightarrow ABA = I$$

Das in (1) eingesetzt ergibt die Behauptung:
$$\boxed{B^3 = 2I-ABA = 2I-I = I}$$