Zwei Straßenstücke verbinden

Question

Aufgabe:

Die beiden folgenden Straßenstücke (Abb. 2.4) sollen durch eine ganzrationale Funktion möglichst niedrigen Grades miteinander verbunden werden.

Es gelten \( h \;:\; x \rightarrow-x-1 \;;\; x \leq-2 \)   und  \( p\;:\; x \rightarrow 1,5 x+2 \;;\; x \geq 0 \).

Als ganzrationale Funktion möglichst niedrigen Grades käme möglicherweise eine Funktion zweiten Grades mit \( q(x)=a x^{2}+b x+c \) in Frage.

a) Zeigen Sie, dass Sie die beiden Straßenstücke aus Beispiel 2.2

\( h\;:\; x \rightarrow-x-1 \; ;\; x \leq-2 \)   und  \( p\;:\; x \rightarrow 1,5 x+2 \; ,\; x \geq 0 \)

mit einer ganzrationalen Funktion r dritten Grades durch Interpolation verbinden können.

b) Stellen Sie die drei abschnittweise definierten Funktionen graphisch dar.

c) Begründen Sie, warum die Interpolation durch eine ganzrationale Funktion dritten Grades möglich ist, während die Interpolation durch eine Funktion zweiten Grades nicht möglich ist.

Problem/Ansatz:

Bin ganz neu hier und bräuchte hier Hilfe in Mathe, so ganz genau weiß ich auch nicht wie das ganze funktioniert, ich hoffe das ist verständlich gezeigt worden. Bin für jeden Tipp und Hilfe dankbar

Comments

Ich habe das von Dir vergebene Schlagwort "ganzrationale Zahlen" durch "ganzrationale Funktionen" ersetzt.

Das was das Apfelmännchen gemeint hat mit "ruckfrei" ergäbe dann die blaue Linie.

---

Das Suchstichwort hier ist "Trassierungen".

Eine Seite, die das gut erklärt,ist z.B.

https://www.frassek.org/2d-mathe/trassierung/

oder einfacher:

https://www.studyhelp.de/online-lernen/mathe/trassierungen/

---

Das was das Apfelmännchen gemeint hat mit "ruckfrei" ergäbe dann die blaue Linie.

Das wäre dann eine Funktion 5. Grades, die sicher aufgrund der Aufgabenstellung c) nicht gemeint sein kann.

---

Eine Seite, die das gut erklärt,ist z.B.
https://www.frassek.org/2d-mathe/trassierung/

Die Seite hinter dem Link ist wirklich eine gute Erklärung, zumal sie auch nicht verschweigt, dass 'im wahren Leben' ganzrationale Funktion in der hier verwendeten Art nicht ausreichen, um eine gute Trassierung in der Ebene zu modellieren. Siehe dazu: Klothoide.

Answer 1

Man kann es als Steckbriefaufgabe mit einem LGS lösen. Ich verwende zur Hilfe und Kontrolle: https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

Eigenschaften

f(-2) = 1
f'(-2) = -1
f(0) = 2
f'(0) = 1.5

Errechnete Funktion

f(x) = -0,125·x^3 + 0,25·x^2 + 1,5·x + 2

Skizze für b)

c)

Wenn man zur Interpolation die beiden Punkte (-2|1) und (0|2) sowie die Steigungen in den Punkten nimmt, hat man 4 Bedingungen, welche durch eine Funktion dritten Gerades (siehe oben) erfüllt werden können. Eine Funktion 2. Grades, welche die 4 Bedingungen erfüllt, gibt es nicht.

Comments

Die beiden folgenden Straßenstücke (Abb. 2.4) sollen durch eine ganzrationale Funktion möglichst niedrigen Grades miteinander verbunden werden.

Warum nimmt man nicht einfach \(y=\tfrac12x+2\) ? Außer „verbinden“ gibt es doch keine weiteren Anforderungen an die gesuchte Funktion.

---

a) Zeigen Sie, dass Sie die beiden Straßenstücke aus Beispiel 2.2\( h\;:\; x \rightarrow-x-1 \; ;\; x \leq-2 \)   und  \( p\;:\; x \rightarrow 1,5 x+2 \; ,\; x \geq 0 \)mit einer ganzrationalen Funktion dritten Grades durch Interpolation verbinden können.

Steht unter dem Bild.

---

Es steht außer Frage, dass die Straßenstücke mit einer ganzrationalen Funktion dritten Grades durch Interpolation verbunden werden können. Auch durch eine Funktion fünften Grades. Gefragt war aber nach einer

Funktion möglichst niedrigen Grades.

Und das dürfte wohl eine Gerade sein.

---

döschwo hat die original Aufgabenstellung wohl gelöscht !!!

in c) steht

..., während die Interpolation durch eine Funktion zweiten Grades nicht möglich ist.

offensichtlich ist also KEINE Gerade gesucht.

---

Eine Funktion zweiten Gerades ist ja auch KEINE Gerade. Die Enden lassen sich dennoch durch eine Gerade verbinden ... und die hat eben Grad 1.

---

Ich stimme Arsinoé4 100%ig zu, und da ist auch, basierend auf der Aufgabenstellung, wie wir sie kennen(!), kein Interpretationsspielraum. Evtl wurde in der Vorlesung eine spezielle Definition von "Interpolation" (nicht die übliche) zugrunde gelegt. Wie so oft, liegt das Problem hier in der ungenauen Aufgabenstellung und der dazu passenden unklaren Frage bzw. unvollständiger Information.

---

Man kann die Aufgabe natürlich komplett anders deuten als die Lehrkraft sie gemeint hat.

Und ihr könnt jetzt auch der Lehrkraft eine unklare, unvollständige Aufgabenstellung in die Schuhe schieben. Ich bin der Ansicht, man darf die Frage genau so beantworten, wie sie gemeint war.

Ich könnt euch dabei auch auf den durch döschwo verstümmelten Rest der Aufgabenstellung berufen.

---

Ich bin der Ansicht, man darf die Frage genau so beantworten, wie sie gemeint war.

Aha, und die Deutungshoheit hat wer?

Ich bin der Ansicht, man darf die Frage genau so beantworten wie sie gestellt ist.

Answer 2

An den Anschlussstellen müssen die Funktionswerte und die Steigungen übereinstimmen (stetig und knickfrei). Daraus lassen sich Gleichungen aufstellen (wie viele?). Das führt auf ein LGS, welches eindeutig lösbar ist. Man könnte auch noch fordern, dass die zweiten Ableitungen an den Stellen übereinstimmen (ruckfrei).