Which statement must be true?

Question

Aufgabe:

Suppose \( \boldsymbol{f} \) is continuous on ( \( \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \) ) and has a vertical asymptote at \( x=c \in(a, b) \). Which statement must be true?
A. \( \lim \limits_{x \rightarrow c} f(x) \) exists and is finite
B. The denominator of \( f \) has a root at \( c \) and the numerator does not
C. The function is bounded on \( (a, b) \)
D. \( f \) has a removable discontinuity at \( c \)

Problem/Ansatz:

Eine Antwort soll in dieser Multiple Choice Frage richtig sein. Ich komme aber auf alle sind falsch?

Comments

Es gibt genau eine richtige Antwort. Nenne mal deine Begründungen für deine Entscheidungen.

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Was würde denn "vertikal asymptote" bedeuten? Ist f eine rationale Funktion?

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A) ist falsch da bei polstelle kein grenzwert existiert

B) ist falsch weil nicht gesagt ist, dass es sich um eine gebrochen rationale Funktion handeln soll. Und selbst wenn es das wäre, wäre die Funktion bei einer Polstelle bei c) nicht stetig auf (a,b)

C) ist falsch da die funktion bei einer Polstelle nicht beschränkt ist

D) ist falsch da eine Polstelle nicht behoben werden kann.

Vermutlich ist B) als Antwort gemeint

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Genau so ist es

Im Grunde ist der Vorspann der Aufgabe schon ein Widerspruch in sich, weil eine stetige Funktion keine Polstelle hat

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Danke Mathhilf!

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D) ist falsch da eine Polstelle nicht behoben werden kann.

Von Polstellen ist gar nicht die Rede. Ich würde sagen, D) ist falsch, weil D) im Widerspruch zur vorausgesetzten Stetigkeit von \(f\) steht.

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C) ist falsch da die funktion bei einer Polstelle nicht beschränkt ist

Nein, C) ist falsch, weil die Unbeschränktheit auch bei \(x=a\) oder bei \(x=b\) vorliegen kann.

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B) ist falsch weil nicht gesagt ist, dass es sich um eine gebrochen rationale Funktion handeln soll. Und selbst wenn es das wäre, wäre die Funktion bei einer Polstelle bei c) nicht stetig auf (a,b)

B) wäre selbst dann falsch, wenn \(f\) eine (echt gebrochene) rationale Funktion hätte sein sollen, was, wie du ja gesagt hast, nicht der Fall ist. Betrachte dazu etwa das Beispiel \(f(x)=x/x^2\).

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Was bleibt noch übrig?

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E) all of the above ist false. :-)

Bereits der erste Satz der Aufgabenstellung ist doch in sich widersprüchlich. Eine Funktion kann nicht stetig auf (a,b) sein und gleichzeitig eine senkrechte Asymptote bei c aus dem Intervall (a,b) haben, was bedeutet, dass f(x) für x gegen c gegen + und/oder - unendlich strebt.

Deine restlichen Kommentare halte ich ehrlich gesagt daher auch alle für falsch.

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Deine restlichen Kommentare halte ich ehrlich gesagt daher auch alle für falsch.

Na, dann ist ja gut. :-)