Which statement must be true?

Question

Aufgabe:

Suppose \( \boldsymbol{f} \) is continuous on ( \( \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \) ) and has a vertical asymptote at \( x=c \in(a, b) \). Which statement must be true?
A. \( \lim \limits_{x \rightarrow c} f(x) \) exists and is finite
B. The denominator of \( f \) has a root at \( c \) and the numerator does not
C. The function is bounded on \( (a, b) \)
D. \( f \) has a removable discontinuity at \( c \)

Problem/Ansatz:

Eine Antwort soll in dieser Multiple Choice Frage richtig sein. Ich komme aber auf alle sind falsch?

Comments

Es gibt genau eine richtige Antwort. Nenne mal deine Begründungen für deine Entscheidungen.

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Was würde denn "vertikal asymptote" bedeuten? Ist f eine rationale Funktion?

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A) ist falsch da bei polstelle kein grenzwert existiert

B) ist falsch weil nicht gesagt ist, dass es sich um eine gebrochen rationale Funktion handeln soll. Und selbst wenn es das wäre, wäre die Funktion bei einer Polstelle bei c) nicht stetig auf (a,b)

C) ist falsch da die funktion bei einer Polstelle nicht beschränkt ist

D) ist falsch da eine Polstelle nicht behoben werden kann.

Vermutlich ist B) als Antwort gemeint

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Genau so ist es

Im Grunde ist der Vorspann der Aufgabe schon ein Widerspruch in sich, weil eine stetige Funktion keine Polstelle hat

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Danke Mathhilf!

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D) ist falsch da eine Polstelle nicht behoben werden kann.

Von Polstellen ist gar nicht die Rede. Ich würde sagen, D) ist falsch, weil D) im Widerspruch zur vorausgesetzten Stetigkeit von \(f\) steht.

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C) ist falsch da die funktion bei einer Polstelle nicht beschränkt ist

Nein, C) ist falsch, weil die Unbeschränktheit auch bei \(x=a\) oder bei \(x=b\) vorliegen kann.

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B) ist falsch weil nicht gesagt ist, dass es sich um eine gebrochen rationale Funktion handeln soll. Und selbst wenn es das wäre, wäre die Funktion bei einer Polstelle bei c) nicht stetig auf (a,b)

B) wäre selbst dann falsch, wenn \(f\) eine (echt gebrochene) rationale Funktion hätte sein sollen, was, wie du ja gesagt hast, nicht der Fall ist. Betrachte dazu etwa das Beispiel \(f(x)=x/x^2\).

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Was bleibt noch übrig?

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E) all of the above ist false. :-)

Bereits der erste Satz der Aufgabenstellung ist doch in sich widersprüchlich. Eine Funktion kann nicht stetig auf (a,b) sein und gleichzeitig eine senkrechte Asymptote bei c aus dem Intervall (a,b) haben, was bedeutet, dass f(x) für x gegen c gegen + und/oder - unendlich strebt.

Deine restlichen Kommentare halte ich ehrlich gesagt daher auch alle für falsch.

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Deine restlichen Kommentare halte ich ehrlich gesagt daher auch alle für falsch.

Na, dann ist ja gut. :-)

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E) all of the above ist false.

Das hättest du bereits in der Frage mitteilen müssen!

Bereits der erste Satz der Aufgabenstellung ist doch in sich widersprüchlich.

Na ja, der erste Satz der Aufgabenstellung besteht in einer Aufforderung, der zweite in einer Frage:

Suppose \( \boldsymbol{f} \) is continuous on ( \( \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \) ) and has a vertical asymptote at \( x=c \in(a, b) \). Which statement must be true?
A. \( \lim \limits_{x \rightarrow c} f(x) \) exists and is finite.

In dieser verkürzten Zitierung wird vielleicht deutlich, was rauskommen muss, nämlich Antwortalternative A.

Den Verdacht, dass C und D falsch sind, hast du ja selbst schon, wenn auch mit falscher Begründung, vorgetragen. Das sind dann wohl die Alternativen, die jeder leicht ausschließen können sollte. Alternative B ist möglicherweise die Falle, auf die man reinfallen sollte, du hast sie aber mit richtiger Begründung ausgeschlossen. Die von dir unterschlagene Alternative E ist der Notausgang für diejenigen, die sich mit ihren Überlegungen selbst verwirrt haben. Die ist in solchen Tests oft vorhanden und dann auffallend oft falsch.

A folgt unmittelbar aus der Stetigkeit von \(f\) undzwar völlig unabhäng davon, obes ein solches \(f\) überhaupt gibt.

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E) all of the above ist false :-)
Das hättest du bereits in der Frage mitteilen müssen!

E) war offensichtlich ein Scherz des FS als Replik auf Deine Suggestivfrage.

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So ist es :-)

Answer 1

Suppose \( \boldsymbol{f} \) is continuous on ( \( \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \) ) and has a vertical asymptote at \( x=c \in(a, b) \).

No such \(\boldsymbol f\) exists.

Comments

Schön, dass Du das bereits zweimal Gesagte für uns nochmal in Engisch paraphrasiert hast.

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Ich lasse doch keine Punkte liegen. Punkte zu haben ist erstrebenswert. Die sind wertvoll.

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Interessant wäre, wenn die Aufgabe im Original noch ein "then" enthielte.

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Weil dann alle Aussagen wahr wären?

Answer 2

Ich gehe davon aus, dass \(a,b\in\mathbb{R}\) sein sollen und \(f\colon(a,b)\to\mathbb{R}\).

Beschrieben/Vorausgesetzt ist hier (ungewöhnlicherweise) eine widersprüchliche Situation.

In dieser Situation lassen sich gemäß "Ex Falso Quodlibet" alle beliebigen Aussagen (genau wie ihre Verneinungen) zeigen (Alternative: Argumentation per Widerspruchsbeweis.).

Demzufolge sind hier A., C. und D. (in der beschriebenen Situation) zwangsläufig wahr.

Bei B. erkenne ich keine wohldefinierte Aussage, da mir die Begriffe "denominator" und "numerator" einer Funktion \(f\colon(a,b)\to\mathbb{R}\) unbekannt sind. Wenn diese Begriffe in diesem allgemeinen Zusammenhang definiert wurden, so dass B. eine wohldefinierte Aussage ist, ist auch B. wahr, ansonsten lügt/irrt die Aufgabenstellung, indem sie B. fälschlich als statement/Aussage darstellt.

(Wer behauptet, dass A, C und D in der beschriebenen Situation nicht zwangsläufig wahr sind, müsste zum Nachweis ein Gegenbeispiel für eine Situation wie in der Aufgabenstellung vorausgesetzt benennen können, in der die Aussagen nicht zutreffen. Ein solches \(f\) anzugeben wird jedoch aufgrund der Widersprüchlichkeit der Situation wohl nicht gelingen.)

Comments

Dies war eine von 10 Fragen aus einem Multiple Choice Test mit noch weiteren Aufgaben. Somit nicht gedacht als Logik Problem sondern ich denke schlicht eine fehlerhafte Frage. Wenn z.B. dort ‚stetig auf (a,b) außer bei c‘ stünde, wäre doch alles klar und B) die Lösung wenn man auch noch davon ausgeht, dass die Funktion gebrochen-rational ist, was bei uns meistens der Fall war.

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Wie habt ihr denn den denominator bzw. nominator einer beliebigen oder auch gebrochen rationalen Funktion \(f\colon (a,b)\to\mathbb{R}\) definiert? (Beachte, dass in Darstellungen \(f=\frac{g}{h}\) mit reellen Polynomen \(g\) und \(h\) die Polynome \(g\) und \(h\) nicht eindeutig bestimmt sind.)

Ich vermute, dass ihr das gar nicht definiert habt (lasse mich aber gerne eines Besseren belehren). Dann wäre auch in der Variation B. gar keine wohldefinierte Aussage.

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Wurde nur für Brüche von Polynomen definiert (Zähler=Numerator, Nenner= Denominator)

Aber ich merke gerade selbst mit meinen Annahmen ist B) fehlerhaft, der Zähler könnte ja auch bei c Nullstellen haben solange im Nenner eine Nullstelle höheren Grades als im Zähler vorliegt. Irgendwie ist die Frage nicht zu retten…

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Dann würde ich an deiner Stelle den Aufgabensteller fragen, welche der unendlich vielen Darstellungen von \(f\) als Bruch von Polynomen bei B. gemeint ist.

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I think we have bigger fish to fry

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OK, auch verständlich.

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Mich würde hier aber tatsächlich die Intention bzw. Antwort des Autors interessieren. Wenn es da also die Möglichkeit gibt, nachzufragen, sehr gerne! :)

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Ich vermute-hoffe-, dass KI der Autor (m/w/d) ist.

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Mich würde hier aber tatsächlich die Intention bzw. Antwort des Autors interessieren.

Wählt man gleichverteilt eine Zahl \(x_0\) im Intervall \((a, b)\) aus, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass \( \boldsymbol{f} \) bei \(x_0\) stetig ist, gleich \(1\).

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Es handelt sich wohl um eine fehlerhafte Umformulierung dieser Frage:

Suppose \( \boldsymbol{f} \) is rational on ( \( \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \) ) and has a vertical asymptote at \( x=c \in(a, b) \). Which statement must be true?

A. \( \lim \limits_{x \rightarrow c} f(x) \) exists and is finite

B. The denominator of \( f \) has a root at \( c \) not cancelled by the numerator

C. The function is bounded on \( (a, b) \)

D. \( f \) has a removable discontinuity at \( c \)

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Angenommen es wäre so, was ich bezweifle, was wäre dann deine Antwort?

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@enpassant:

Wie habt ihr "\( f \) is rational on \((a, b )\) " definiert? Muss der Definitionsbereich von \(f\) hier das ganze Intervall \((a,b)\) sein oder darf er \((a,b)\setminus N\) für eine endliche ("Nenner-Nullstellen-")Menge \(N\) sein?

Wenn ersteres, gilt meine Antwort auch für die veränderte Aufgabenstellung, abgesehen davon, dass man die neue Version von B. nun wohl als wohldefinierte Aussage über "rational functions" ansehen kann.

Wenn letzteres, ist die beschriebene Situation nicht mehr widersprüchlich, wie sich durch ein Beispiel zeigen lässt. Egal wie man das Beispiel wählt: Es wird bezeugen, dass A., C. und D. nicht immer wahr sind. Aussage B. hingegen lässt sich dann (unabhängig von der zusammengehörigen Wahl von Zähler und Nenner von \(f\)) mit einem Widerspruchsbeweis, Fallunterscheidungen und Stetigkeitsargumenten (in einem Fall angewandt auf eine in \(c\) stetige Fortsetzung von \(f\)) zeigen. Vielleicht kann man alternativ auch bekannte Zusammenhänge aus der Vorlesung heranziehen.

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@Tobit,

ja, auch diese Aufgabe ist etwas ‚schlampig‘ formuliert, da die rationale Funktion nicht für c definiert ist. Das aber wird durch den Nachsatz deutlich und somit auch, was denn die richtige Antwort ist.

Es stecken in den Aufgabenstellungen leider doch immer wieder ein paar Fehler drin, die erst mal irritieren.

Ich habe eben eine weitere Variante gefunden:

Vertical asymptote of rational function occurs when
A. denominator has a root not cancelled by numerator
B. numerator and denominator share a root with equal multiplicity
C. function is strictly decreasing
D. function is bounded

Diese Formulierung scheint ok zu sein ;-)

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Ich habe eben eine weitere Variante gefunden:

Was tust du?

Du hast die Aufgabe nicht verstanden und bist daher mit den Lösungsalternativen nicht einverstanden.

Nun suchst du nach anderen Aufgaben und nach anderen Lösungsalternativen, die vielleicht zusammenpassen.

Das ist sicher ein möglicher Ausweg, trägt aber nur wenig zur eigentlichen Frage bei.

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@enpassant : gut, dass Du die Fehler in den Aufgabenstellungen selber siehst. Ich nehme an, Deine Antworten zur 2. und 3. Frage waren B bzw. A?

PS. Schachspieler?

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Hi, danke. Ja und ja :-)