Berechnen Sie die Länge des Kurvenstücks

Question

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Aufgabe:
Ein Autobahnstück wird durch die Funktion \( f: f: x \rightarrow \sqrt{(x+3)^{3}} ; x \in[-3 ; 3] \) beschrieben.
a) Berechnen Sie die Länge des Kurvenstücks.
\( \mathrm{f}(\mathrm{x})=\sqrt{(x+3)^{3}}=(\mathrm{x}+3)^{\frac{2}{3}} \quad x \in[-3,3] \)

Es gilt: \( \mathrm{L}=\int \limits_{a}^{b} \sqrt{1+\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} d x} \)
\( \text { Ableitung } \rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{3}{2} \sqrt{x+3} \)
b) Vergleichen Sie Ihre Rechnung mit der Bestimmung mit Ihrem Taschenrechner

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Ich hab keine Ahnung wie ich jetzt weiter vorgehen soll, mein Schrift ist die in blau und die Aufgabe ist in schwarz angegeben. Wäre wirklich nett für etwaige Hilfe allerlei

Comments

Die Ableitung stimmt, aber es ist nicht \(f(x)=(x+3)^{\frac23}\). Und weiter geht es mit Einsetzen in die Formel, die nächsten Schritte sind damit klar. Wo ist das Problem?

Answer 1

Die Ableitung ist richtig. Die musst du jetzt quadrieren und 1 addieren

1 + f'(x)^2 = 9/4·x + 31/4

Davon jetzt noch die Wurzel ziehen und dann das Integral bilden

∫ (-3 bis 3) √(9/4·x + 31/4) dx = 58/27·√58 - 8/27 ≈ 16.06

Willst du das mal probieren nachzuvollziehen und nachzurechnen.

Comments

Ich denke mal statt 31/4 kommt 27/4 raus oder stimmt es nicht?

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Ich denke mal statt 31/4 kommt 27/4 raus oder stimmt es nicht?

\(31/4\) ist schon richtig:$$\begin{aligned} 1+(f'(x))^2 &= 1+\left(\frac{3}{2}\sqrt{x+3}\right)^2 = 1 + \frac{9}{4}(x+3) \\ &= \frac{4}{4} + \frac{9}{4}x + \frac{27}{4} = \frac{9}{4}x + \frac{31}{4} \end{aligned}$$