Eigenmann: Ist das Dreieck gleichseitig?

Question

Aufgabe:

Ist das Dreieck PCQ gleichseitig?

Mit Taschenrechner; die Figuren sind nicht maßgetreu.

Paul Eigenmann, Aufgabe 2.2.87, ISBN 3-12-722310-2, 1981, S.48

Comments

ist das Dreieck gleichseitig?

und AC = 99

Das kann ja nichts werden ...

Reine Vermutung aufgrund des Wertes. :-)

Answer 1

Mit Koordinatengeometrie ergibt sich P als Schnittpunkt der roten und der violetten Geraden.
Da beide Geradengleichungen rationale Koeffizienten haben ist auch die Lösung des Gleichungssystems (rot,violett) ein Paar rationaler Zahlen. (Wen es interessiert: die x-Koordinate von P ist -2692800/64183.)

Da auch C rationale Koordinaten hat, ist die Steigung von PC rational und nicht (wie für Gleichseitigkeit erforderlich) -√3.

Comments

Wenn der Ursprung bei M ist, woher kommt dann das rote +50,5 und das grüne 25,75 ?

Ich habe stattdessen die rote Gleichung

\( \displaystyle y = \frac{272}{99}x -\frac{64183}{396} \)

was mit der violetten Gleichung ergibt

\( \displaystyle P\left(\hphantom{-}\frac{2161516}{45845} \; \Bigg| -\frac{5967073}{183380}\right) \)

\( \displaystyle Q\left(-\frac{2161516}{45845} \; \Bigg| -\frac{5967073}{183380}\right) \)

woraus folgt

\( \begin{aligned}\overline{CP\vphantom{1^0}} &=\sqrt{\left(\frac{2161516}{45845}\right)^{2}+\left(49,5+\frac{5967073}{183380}\right)^{2}} &&\approx 94,6 \\\\ \overline{PQ\vphantom{1^0}} &= 2\cdot\frac{2161516}{45845} &&\approx 94,3 \end{aligned}\)

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Wenn der Ursprung bei M ist, woher kommt dann das rote +50,5 und das grüne 25,75

Schreibfehler, den ich dann weiter übernommen habe. Der Mittelpunkt von BC hat die y-Koordinate 24,75.

Aber die konkreten Werte wären gar nicht nötig gewesen.

Anstiege, Punktkoordinaten, Parameter der Geradengleichungen und damit des Schnittpunktes P sind alle rational. Dann ist der Anstieg von PC auch rational.

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Verstehe. Eine Argumentation, die in der eigenmannschen Lösung nicht vorkommt. Er hat wahrscheinlich so gerechnet wie ich, wie man seiner Lösung entnehmen kann, weil Sekundarschule. Dafür hat er sich von den Gleitkommafehlern der damaligen Taschenrechner inspirieren lassen, seine Streckenlängen liegen näher beieinander als meine.