Eigenmann: Ist das Dreieck gleichseitig?

Question

Aufgabe:

Ist das Dreieck PCQ gleichseitig?

Mit Taschenrechner; die Figuren sind nicht maßgetreu.

Paul Eigenmann, Aufgabe 2.2.87, ISBN 3-12-722310-2, 1981, S.48

Comments

ist das Dreieck gleichseitig?

und AC = 99

Das kann ja nichts werden ...

Reine Vermutung aufgrund des Wertes. :-)

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Eigenmann hat auch Lösungen mitgeliefert. Zu dieser Aufgabe schrieb er:

[spoiler]

\(\displaystyle CP=94,46465 \\\\ PQ=94,46457 \)

[/spoiler]

(eingangs zitiertes Werk, S. 60)

Answer 1

Mit Koordinatengeometrie ergibt sich P als Schnittpunkt der roten und der violetten Geraden.
Da beide Geradengleichungen rationale Koeffizienten haben ist auch die Lösung des Gleichungssystems (rot,violett) ein Paar rationaler Zahlen. (Wen es interessiert: die x-Koordinate von P ist -2692800/64183.)

Da auch C rationale Koordinaten hat, ist die Steigung von PC rational und nicht (wie für Gleichseitigkeit erforderlich) -√3.

Comments

Wenn der Ursprung bei M ist, woher kommt dann das rote +50,5 und das grüne 25,75 ?

Ich habe stattdessen die rote Gleichung

\( \displaystyle y = \frac{272}{99}x -\frac{64183}{396} \)

was mit der violetten Gleichung ergibt

\( \displaystyle P\left(\hphantom{-}\frac{3031508}{64183} \; \Bigg| -\frac{8294715}{256732}\right) \)

\( \displaystyle Q\left(-\frac{3031508}{64183} \; \Bigg| -\frac{8294715}{256732}\right) \)

woraus folgt

\( \begin{aligned}\overline{CP\vphantom{1^0}} &=\sqrt{\left(\frac{3031508}{64183}\right)^{2}+\left(49,5+\frac{8294715}{256732}\right)^{2}} &&\approx 94,4647 \\\\ \overline{PQ\vphantom{1^0}} &= 2\cdot\frac{3031508}{64183} &&\approx 94,4645 \end{aligned}\)

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Wenn der Ursprung bei M ist, woher kommt dann das rote +50,5 und das grüne 25,75

Schreibfehler, den ich dann weiter übernommen habe. Der Mittelpunkt von BC hat die y-Koordinate 24,75.

Aber die konkreten Werte wären gar nicht nötig gewesen.

Anstiege, Punktkoordinaten, Parameter der Geradengleichungen und damit des Schnittpunktes P sind alle rational. Dann ist der Anstieg von PC auch rational.

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Verstehe. Eine Argumentation, die in der eigenmannschen Lösung nicht vorkommt. Er hat wahrscheinlich so gerechnet wie ich, wie man seiner Lösung entnehmen kann, weil Sekundarschule. Dafür war er mit den Gleitkommafehlern der damaligen Taschenrechner konfrontiert, seine Streckenlängen sind leicht anders als meine.

ChatGPT antwortet übrigens mit ja, das Dreieck sei gleichseitig. Der Plapperbot begründet es sogar, beginnend mit der Aussage "ABC ist gleichschenklig mit AC = BC." ... und dafür verbraucht er soviel Strom wie ca 150 Tsd. Menschen in Europa.

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und dafür verbraucht er soviel Strom wie ca 150 Tsd. Menschen in Europa.

OpenAI gab den Strombedarf für eine durchschnittliche KI Textanfrage mit etwa 0.34 Wh an.

Google kommt bei seinen Berechnungen auf einen durchschnittlichen Wert von 0.24 Wh.

Und das soll deiner Meinung nach der Strombedarf für 150 Tsd. Menschen in Europa sein?

Verrätst du uns was für Annahmen du gemacht hast?

Answer 2

Eine einzige Rechnung genügt:

Der Winkel CPM ist 20° (=arctan(49,5/136)).

Der Winkel PCB hat den doppelten Wert: 40°.

Der Winkel PCA ist 30° (=90°-40°-20°).

Die Spiegelbild CQ der Geraden CP ist gleich lang wie diese.
Der Winkel ACQ ist wie PCA = 30°.

PCQ ist ein gleichseiges Dreieck, weil zwei seiner Seiten gleich lang sind
und  der Winkel zwischen ihnen 60° ist.

Comments

Der Winkel CPM ist 20° (=arctan(49,5/136)).

Wie kommst du darauf?

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Weil tan(CPM) = MC / MB

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Ich meinte eher die angebliche Identität tan(20")=49,5/136.

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Das wäre dann aber der Winkel \(\angle CBM\). Wieso sollte er mit \(\angle CPM\) übereinstimmen? Das haut schon deswegen nicht hin, weil man den Winkel \(\angle CPM\) auch beim Schnittpunkt zwischen \(MB\) und \(CP\) (Stufenwinkel) findet. Es wäre dann eher \(\tan^{-1}(\frac{49,5}{x})\) mit \(x<136\) und damit \(\angle CBM\neq\angle CPM\). Deine Ausführungen sind also falsch und widersprechen sich außerdem mit den obigen Ausführungen.

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Das wäre dann aber der Winkel \(\angle CBM\).

Jetzt wäre nur noch nötig, \(\angle CPM\) als Schreibfehler (mea culpa) zu erkennen, die Stelle mit  \(\angle CBM\) zu überschreiben und mit dem Lesen fortzufahren.

Vorsichtshalber noch gesagt, woher  -20° in der 3. Zeile kommt:
90° sind es zwischen MC und einer Horizontalen durch C.Bei C sind es zwischen der Horizontalen und CB 20°.

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Du hast immer noch nicht gesagt, warum tan(20")=49,5/136 sein soll.

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tan(20")=49,5/136

Es wurde vermutlich nur das näherungsweise vergessen.

Aber auch Paul Eigenmann schreibt überall ist gleich auch wenn es teilweise eben ein ungefähr sein sollte.

Mein Taschenrechner gibt an

arctan(49.5/136) ≈ 20.00001791°

Dabei ist das nicht ganz richtig. Das ungefähr und das Gradzeichen habe ich hier ergänzt, weil es der Taschenrechner nicht selber mit ausgibt.

Aber beim Taschenrechner sollte man eh vorsichtig sein. Manchmal sind nicht mal alle angezeigten Stellen korrekt.

Wolframalpha kennt es noch genauer.

20.000017908514273205138831009868214010627890196972219752548109853...

Man kann sich sogar noch mehr Nachkommastellen anzeigen lassen, aber auch Wolframalpha ist nicht in der Lage die komplett richtige Dezimalzahl anzuzeigen.

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Einerseits: Korinthenkackerei
Andererseits: Leerlauf.
Warum gab Eigenmann relativ große Zahlen für die beiden Strecken an?
Weil er den Winkel 20 ° bekannt geben wollte, und Euch nicht kannte, die
Ihr bei nur 4 Nullen hinter dem Komma immer noch die Nase rümpft und ein
großes trara veranstaltet.

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Warum gab Eigenmann relativ große Zahlen für die beiden Strecken an?

Oder einfach, weil er die Zahlen bewusst so gewählt hat, dass sich die Seiten nur minimal unterscheiden und das Dreieck damit eben nicht gleichseitig ist. Oder wieso sollte er die Seitenlängen sonst bis auf 5 Stellen hinterm Komma angeben (vergleiche Kommentar oben)? Was nun tatsächlich seine Intention war, werden wir wohl nie herausfinden.

Wer richtige Mathematik betreibt, berücksichtigt das. Alle anderen sind Scharlatane, die dann beleidigt sind, wenn man sie zu Recht kritisiert.

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Was nun tatsächlich seine Intention war ....

Man kann aus dem Titel seines Werkes gewisse Schlüsse ziehen. Der lautet nicht "Geometrische Rateaufgaben", ob er wohl exakt 20 Grad gemeint habe und das absichtlich unexakt angegeben hat.

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Hast du auch mehr als einen blöden Spruch auf Lager?

Anhand des Titels kann ich jedenfalls nicht den Schluss ziehen, ob er wollte, dass das Dreieck gleichseitig ist oder nicht. Hat also rein gar nichts mit Raten zu tun. Die Intention wäre eindeutig klar, wenn er in seiner Lösung auch einen Antwortsatz geschrieben hätte.

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Wir können festhalten:

Wenn ∠CBM exakt 20° misst, dann wäre QPC ein gleichseitiges Dreieck. Wenn der Winkel nicht exakt 20° ist, dann ist das Dreieck nicht gleichseitig.

Nun ist nur die Frage ob der Taschenrechner exakt 20° angegeben hat.

Weil er den Winkel 20 ° bekannt geben wollte...

Das halte ich für ein Gerücht. Dann hätte Eigenmann die Seitenlängen weggelassen und an den Winkel 20° drangeschrieben.

Trotzdem scheint Eigenmann sehr viel unvorteilhafter bei seiner Berechnung vorgegangen zu sein, da er tatsächlich die Seitenlängen bestimmt hat.

Es wäre also viel schlauer gewesen zu argumentieren, dass ∠CBM nicht exakt 20° groß ist und damit das Dreieck nicht gleichseitig sein kann.

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Nun ist nur die Frage ob der Taschenrechner exakt 20° angegeben hat.

Ein Taschenrechner ist nicht nötig. Da tan(20°) irrational ist, kann es unmöglich gleich 49,5/136 sein.

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Da tan(20°) irrational ist, kann es unmöglich gleich 49,5/136 sein.

Das wissen Schüler allerdings nicht. Und auch in meinem Studium habe ich das nicht gelernt. Zumindest kann ich mich nicht daran erinnern.

Ich könnte allerdings mit meinem jetzigen Wissen ein Widerspruchsbeweis führen. Aber das ist umständlicher als den Taschenrechner zu bemühen.

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Das mag Ansichtssache sein. Dass tan(20°) irrational ist, lässt sich relativ leicht auch ohne besondere Kenntnisse zeigen.

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Dann gib mir gerne einen Tipp, wie man das ohne besondere Kenntnisse zeigt.

Also ohne besondere Kenntnisse wäre für mich jetzt auf Abitur Niveau.

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Gerne. Wenn man trigonometrische Funktionen kennt, dann weiß man vielleicht auch, dass es Formeln für doppelte und dreifache Argumente gibt. Der Formelsammlung entnimmt man$$\quad\tan(3x)=\frac{3\tan(x)-\tan^3(x)}{1-3\tan^2(x)}.$$Nun wähle man \(x=20^\circ\). Wäre \(\tan(20^\circ)\) rational, dann auch \(\tan(60^\circ)=\sqrt3\). Bekanntlich ist letzteres aber nicht der Fall.

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In welchem Bundesland wird die Formel bis zum Abitur gelernt?

Und die zugelassene "Formelsammlung" entnimmt man dem IQB unter

https://www.iqb.hu-berlin.de/media/documents/N_Mathematisch-naturwissenschaftliche_Formelsammlung.pdf

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Ein Zitat aus der von dir verlinkten Seite:

Die Möglichkeit der Verwendung anderer Formeldokumente im Unterricht wird durch diese Formelsammlung nicht berührt.

Meinst du ernsthaft, dass die Additionstheoreme nicht mehr gelehrt werden?

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Jedenfalls nicht im Abitur. Die Lehrpläne werden leider immer weiter ausgedünnt und der heutige Abiturstoff lässt sich bei weitem nicht mit dem Stoff zu DDR-Zeiten vergleichen.

Würde man die Additionstheoreme im Abitur lernen, stünden sie auch sicherlich in der Formelsammlung. Dass es immerhin der trigonometrische Pythagoras in das Dokument geschafft hat, grenzt fast an ein Wunder.