Eigenmann: Ist das Dreieck gleichseitig?

Question

Aufgabe:

Ist das Dreieck PCQ gleichseitig?

Mit Taschenrechner; die Figuren sind nicht maßgetreu.

Paul Eigenmann, Aufgabe 2.2.87, ISBN 3-12-722310-2, 1981, S.48

Comments

ist das Dreieck gleichseitig?

und AC = 99

Das kann ja nichts werden ...

Reine Vermutung aufgrund des Wertes. :-)

Answer 1

Mit Koordinatengeometrie ergibt sich P als Schnittpunkt der roten und der violetten Geraden.
Da beide Geradengleichungen rationale Koeffizienten haben ist auch die Lösung des Gleichungssystems (rot,violett) ein Paar rationaler Zahlen. (Wen es interessiert: die x-Koordinate von P ist -2692800/64183.)

Da auch C rationale Koordinaten hat, ist die Steigung von PC rational und nicht (wie für Gleichseitigkeit erforderlich) -√3.

Comments

Wenn der Ursprung bei M ist, woher kommt dann das rote +50,5 und das grüne 25,75 ?

Ich habe stattdessen die rote Gleichung

\( \displaystyle y = \frac{272}{99}x -\frac{64183}{396} \)

was mit der violetten Gleichung ergibt

\( \displaystyle P\left(\hphantom{-}\frac{3031508}{64183} \; \Bigg| -\frac{8294715}{256732}\right) \)

\( \displaystyle Q\left(-\frac{3031508}{64183} \; \Bigg| -\frac{8294715}{256732}\right) \)

woraus folgt

\( \begin{aligned}\overline{CP\vphantom{1^0}} &=\sqrt{\left(\frac{3031508}{64183}\right)^{2}+\left(49,5+\frac{8294715}{256732}\right)^{2}} &&\approx 94,4647 \\\\ \overline{PQ\vphantom{1^0}} &= 2\cdot\frac{3031508}{64183} &&\approx 94,4645 \end{aligned}\)

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Wenn der Ursprung bei M ist, woher kommt dann das rote +50,5 und das grüne 25,75

Schreibfehler, den ich dann weiter übernommen habe. Der Mittelpunkt von BC hat die y-Koordinate 24,75.

Aber die konkreten Werte wären gar nicht nötig gewesen.

Anstiege, Punktkoordinaten, Parameter der Geradengleichungen und damit des Schnittpunktes P sind alle rational. Dann ist der Anstieg von PC auch rational.

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Verstehe. Eine Argumentation, die in der eigenmannschen Lösung nicht vorkommt. Er hat wahrscheinlich so gerechnet wie ich, wie man seiner Lösung entnehmen kann, weil Sekundarschule. Dafür war er mit den Gleitkommafehlern der damaligen Taschenrechner konfrontiert, seine Streckenlängen sind leicht anders als meine.

ChatGPT antwortet übrigens mit ja, das Dreieck sei gleichseitig. Der Plapperbot begründet es sogar, beginnend mit der Aussage "ABC ist gleichschenklig mit AC = BC." ... und dafür verbraucht er soviel Strom wie ca 150 Tsd. Menschen in Europa.

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Eine einzige Rechnung genügt:

Der Winkel CPM ist 20° (=arctan(49,5/136)).

Der Winkel PCB hat den doppelten Wert: 40°.

Der Winkel PCA ist 30° (=90°-40°-20°).

Die Spiegelbild CQ der Geraden CP ist gleich lang wie diese.
Der Winkel ACQ ist wie PCA = 30°.

PCQ ist ein gleichseiges Dreieck, weil zwei seiner Seiten gleich lang sind
und  der Winkel zwischen ihnen 60° ist.

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Der Winkel CPM ist 20° (=arctan(49,5/136)).

Wie kommst du darauf?

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Weil tan(CPM) = MC / MB

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Ich meinte eher die angebliche Identität tan(20")=49,5/136.

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Das wäre dann aber der Winkel \(\angle CBM\). Wieso sollte er mit \(\angle CPM\) übereinstimmen? Das haut schon deswegen nicht hin, weil man den Winkel \(\angle CPM\) auch beim Schnittpunkt zwischen \(MB\) und \(CP\) (Stufenwinkel) findet. Es wäre dann eher \(\tan^{-1}(\frac{49,5}{x})\) mit \(x<136\) und damit \(\angle CBM\neq\angle CPM\). Deine Ausführungen sind also falsch und widersprechen sich außerdem mit den obigen Ausführungen.