Komplexe Zahlen - Gleichung lösen

Question

Hallo Lounger,

Die Aufgabe lautet:

Lösen Sie die Gleichung
\( z^{3}=8 j \)
in der Menge der komplexen Zahlen.
Geben Sie alle drei Lösungen in Polarform und in kartesischer Form an

Problem/Ansatz: Ich habe leider nicht den Hauch eines Ansatzes und freue mich über jede Hilfe.

Danke und Gruß, Silvia

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Vielleicht so: \(0=z^3-8j=z^3+(2j)^3=(z+2j)\cdot(z^2-2zj-4)\).

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Danke, damit passen auch die Lösungen von Wolframalpha, aber darauf wäre ich wirklich nicht gekommen.

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Vielleicht sollte die Aufgabe auch dazu dienen, den Ansatz

$$z=r\exp(i\phi)$$

Zu üben?

Was den Ansatz von A angeht: Rate eine Lösung und Spalte den entsprechenden Linearfaktor ab

Answer 1

z = a + bi

z^3 = (a + bi)^3 = (a + bi)^2*(a + bi) = (a^2 + 2abi - b^2)*(a + bi) = (3a^2·b - b^3)i + (a^3 - 3ab^2) = 8i

Also jetzt Koeffizientenvergleich machen

a^3 - 3ab^2 = 0
3a^2·b - b^3 = 8

Willst du es mal probieren?

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Danke, Coach, das mache ich auf jeden Fall, aber erst morgen, denn bald ist Handball-Zeit und ich brauche Hilfe zu einer weiteren Aufgabe, die ich noch einstellen muss.