komplexe Zahlen - Betrag und Argument

Question

Berechnen Sie

\( w=\frac{3-4 j}{2+j} . \)

(a) Geben Sie \( w \) in der Form \( x+y j \) mit \( x, y \in \mathbb{R} \) an.
(b) Bestimmen Sie den Betrag \( |w| \).
(c) Geben Sie das Argument von \( w \) (im Bereich \( -\pi, \pi \) ) an.

Meine Ergebnisse zu a und b sind

\(w=\frac{2}{5}-\frac{11}{5}j\) und \(|w|=\sqrt{5}\)

Bei c würde ich, da kein Taschenrechner verwendet werden darf, angeben

\(\phi=\text{tan}^{-1}(5,5)\). Kann ich das so schreiben?

Danke im Voraus!

Answer 1

Wo ist denn das Problem? Du bist doch anscheinend mit wolframalpha vertraut?! Daher weißt Du ja schon, dass die Ergebnisse zu a) und b) richtig sind.

Der Winkel stimmt so nicht, achte auf's Vorzeichen und mach grundsätzlich eine Skizze.

In welcher Form der Winkel anzugeben ist, geht aus dem Kontext (Vorlesung, Buch, Skript, usw.) hervor.

Comments

In dem Skript stehen alle möglichen Winkelformen. Diese Aufgabe ist aus einer Probeklausur mit dem ausdrücklichen Hinweis, das als Hilfsmittel nur eine handgeschriebene Formelsammlung zulässig ist.

Mit den komplexen Zahlen beschäftige ich mich erst seit einer Woche, weil der Sohn einer Freundin eine Klausur schreibt und mich um Hilfe gebeten hat.

Deswegen würden mir Fehlerkorrekturen mit Hinweisen schon reichen. Ich muss das nicht alles verstehen. ;-)

Answer 2

Ich würde gemäß der 3. binomischen Formel erweitern

w = (3 - 4i) / (2 + i)
w = (3 - 4i)(2 - i) / ((2 + i)(2 - i))
w = (6 - 11i + 4i^2) / (2^2 - i^2)
w = (2 - 11i) / 5
w = 2/5 - 11/5·i

|w| = √((2/5)^2 + (11/5)^2) = √5

α = arctan((- 11/5) / (2/5)) = arctan(- 5.5) ≈ -1.391