Eigenmann: Nummer 47, Teil 1

Question

Aufgabe:

Ohne Taschenrechner; die Figuren sind nicht maßgetreu.

Paul Eigenmann, Aufgabe 1.1.47, ISBN 3-12-722310-2, 1981, S. 9

Problem/Ansatz:

Der Winkel ist Teil eines rechtwinkligen Dreiecks (Halbkreis des Thales). Dessen Höhe ist 1/4 des Kreisdurchmessers, sodass man mit trigon. Rechnungen zu α = 15° findet. Nach Rechnen mit irrationalen Zahlen entsteht schlussendlich mit 15 eine rarionale Zahl. Also gibt es einen eleganteren Lösungsweg. Welchen?

Mit trigonometrischen Rechnungen

Comments

Wenn der Urprung Mittelpunkt eines Kreises mit Radius = 2 ist, dann folgt aus der Kreisgleichung

\(\displaystyle (x-0)^{2}+(1-0)^{2}=2^{2} \)

dass \(\displaystyle P\left(\sqrt{3} \; \vert \; 1 \right) \)

und

\(\displaystyle \alpha = \text{arccot}(2+\sqrt{3}) = \frac{\pi}{12} = 15^{\circ} \)

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döschwo

aus der Kreisgleichung

Danke.

Ich muss aber staunen, dass der Taschenrechner (TI-30XIIS), nachdem er unter Beteiligung einer irrationalen Zahl (1,732 .....) wieder zu einer rationalen findet (15).

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Wenn man annimmt, das Argument habe der TR ungenau mit 3,732050808 und die arccot-Funktion genau, dann gibt es 14,9999999983... Grad, was er dann wieder auf 15 gerundet hat.

Man könnte auch einen TR wie den SwissMicro DM32 verwenden, der hat 34 Stellen in der Mantisse, und rechnet sogar mit Schweizer Elektronen.

Aber die Idee vom Mathecoach mit dem Kreiswinkelsatz verhindert solche Probleme gänzlich.

Answer 1

Beachte immer die Hinweise von Eigenmann. Die Aufgaben sind nicht ohne Grund in Paketen angeordnet.

Es gilt sin(30°) = 0.5 und damit