Beweis arithmetische Folge

Question

Aufgabe:
Aus: „What is Mathematics?“, Courant and Robbins, OUP, 1961:
Prove by mathematical induction:
\( \frac{1}{1·2} \)+\( \frac{1}{2·3} \)+\( \frac{1}{3·4} \)+…+\( \frac{1}{n(n+1)} \)=\( \frac{n}{n+1} \)

Problem/Ansatz:
Ich zeige für n=1, daß \( \sum\limits_{k}^{n}{\frac{1}{n(n+1)}} \)=\( \frac{1}{1(1+1)} \)=\( \frac{1}{2} \)=\( \frac{n}{n+1} \)=\( \frac{1}{1+1} \)
Jetzt zeige ich für n=n+1, daß
\( \sum\limits_{k}^{n+1}{\frac{1}{n(n+1)}} \)=\( \frac{n}{n+1} \)+\( \frac{1}{(n+1)(n+1+1)} \)=\( \frac{n+1}{n+2} \)

Und da komme ich nicht weiter.

Comments

Bringe die beiden Brüche in Deiner letzten Zeile auf den gemeinsamen Nenner (n+1)(n+2)

Allerdings musst Du allgemein Deine Schreibweise überprüfen, Verwendung von Variablen.

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Wie mathhilf schon sagt, hier geht mit der Schreibweise ziemlich viel durcheinander und dann ist es kein Wunder, dass die Induktion nicht klappt.

Schreib den Formalismus der Induktion sauber hin (Zu zeigende Aussage, Ind.Anf. (was ist zu zeigen, ist es erfüllt?), Ind. Ann., Ind. Beh., und dann Ind. Schluss. Lass nichts weg (außer Unsinn wie n=n+1).

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Aus: „What is Mathematics?“ ...

dort Seite 17.

Beweis arithmetische Folge

Ist das eine arithmetische Folge?

Answer 1

I.S. Wir zeigen, dass die Induktionsannahme für n + 1 gilt unter der Annahme, dass sie für n gilt.

∑ (k = 1 bis n + 1) 1 / (k·(k + 1))

= ∑ (k = 1 bis n) 1 / (k·(k + 1)) + 1 / ((n + 1)·(n + 2))

= n / (n + 1) + 1 / ((n + 1)·(n + 2))

= n·(n + 2) / ((n + 1)·(n + 2)) + 1 / ((n + 1)·(n + 2))

= (n·(n + 2) + 1) / ((n + 1)·(n + 2))

= (n^2 + 2·n + 1) / ((n + 1)·(n + 2))

= ((n + 1)·(n + 1)) / ((n + 1)·(n + 2))

= (n + 1) / (n + 2)