0 Daumen
1,1k Aufrufe

i=1n k = n(n+1)/2 

1=1 yesss 

und jetzt??? der Bruch bereitet mir schwierigkeiten :( 

i=1n+1 k = Σi=1n (n(n+1)/2)+(n+1) 

jetzt?

kann mir jemand bitte Alle Schrrite aufschreiben? Also so: 

1) ... 

2) ....

3) ... 

bitte das wäre so nett 

Avatar von 7,1 k

2 Antworten

+1 Daumen
 
Beste Antwort

Die Behauptung

$$\sum _{ i=1 }^{ n }{ k } =\frac { n(n+1) }{ 2 }$$

ist falsch!
Denn schon für n = 1 ist der Wert der Summe nicht \(\frac { n(n+1) }{ 2 } =\frac { 1*2 }{ 2 } =1\) sondern \(k\).
Und für beliebiges n ≥ 1 ist der Wert der Summe \(n * k\).

Warum? Weil der Index der Summe i ist !

Damit ergibt sich:

$$\sum _{ i=1 }^{ n }{ k } =k+k+...(n\quad mal)...+k=n*k$$

 

Die Behauptung wäre richtig, wenn der Index der Summe k wäre.

Dann nämlich gilt:

$$\sum _{ k=1 }^{ n }{ k } =1+2+...+n=\frac { n(n+1) }{ 2 }$$

Beweis (vollständige Induktion):

Induktionsanker:

Für n = 1 gilt :

$$\sum _{ k=1 }^{ 1 }{ k } =1=\frac { 1(1+1) }{ 2 }$$

Induktionsvoraussetzung:

Gelte für festes n ≥ 1:

$$\sum _{ k=1 }^{ n }{ k } = \frac { n(n+1) }{ 2 }$$

Induktionsbehauptung:

Dann gilt für n + 1:

$$\sum _{ k=1 }^{ n+1 }{ k } =\frac { (n+1)(n+2) }{ 2 }$$

Beweis:

$$\sum _{ k=1 }^{ n+1 }{ k } =\sum _{ k=1 }^{ n }{ k } +n+1$$Induktionsvoraussetzung anwenden:$$=\frac { n(n+1) }{ 2 } +n+1$$Mit 2 erweitern:$$=\frac { n(n+1) }{ 2 } +\frac { 2(n+1) }{ 2 }$$Auf gemeinsamen Bruchstrich schreiben$$=\frac { n(n+1)+2(n+1) }{ 2 }$$(n+1) ausklammern:$$=\frac { (n+1)(n+2) }{ 2 }$$q.e.d

Avatar von 32 k
Hi JotEs!
Danke für diese Tolle Erklärug und auch noch mit Latex :)
+1 Daumen

Ich mach dir mal die Umformung mit den Brüchen.

k=1n+1 k = Σk=1n k + (n+1)      | Ind. vor.

= (n(n+1))/2)+(n+1)          |gleichnennrig machen

= (n(n+1))/2) +(2(n+1))/2        |Bruchaddition

= (n(n+1) + 2(n+1))/2               |(n+1) ausklammern

= ((n+2)(n+1))/2

Das dürfte jetzt die Induktionsbehauptung sein.

Avatar von 162 k 🚀
Also haben wir das jetzt bewiesen?
Ist das jetzt der Beweis, dass die Rechte Gleichung Oben genau das selbe ist wie bei der hier?? also ist das der beweis??
Danke Lu.
Ich warte mal ein bisschen mit dem Stern. Vielleicht kommen noch mehr Antworten.
Bitte denke nicht, dass ich deine Antwort nicht gut finde!! Ich möchte nur mehrere Antworten :)
Du hast eigentlich genau das gemacht, was ich wollte!
https://www.mathelounge.de/118571/die-vollstandige-induktion-beweisen-sie-diese-gleichung


...Nachfragen immer am Ursprungsort. Wie sonst auch. Dort hattest Du auch schon alles beisammen. Nur ein Rechenschritt hast Du "iwie" gemacht. Lu hat nochmals genauer gezeigt wie das funktioniert (ausklammern von (n+1), wie von mir drüber erwähnt).
omg ich kann mich an die Aufgabe gar nicht erinnern???
tut mir leid ja sonst würde ich auch immer am Ursprungsort nachfragen :)
tut mir nochmal leid:)
danke unknown:)

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community