Herleitung des Dual Heat Flux Verfahrens

Question

Aufgabe:

Ansatz ist die Berechnung des Wärmestroms eines Wärmeleitpfades

\(\displaystyle \dot{Q}=\frac{1}{R_{t h}} \cdot\left(T_{i}-T_{a}\right) \) mit \( R_{t h}=\frac{d}{\lambda \cdot A} \)

Ergebnis ist:

Ergebnisgleichung:

\(\displaystyle T_{b}=\frac{T_{1}+T_{2}}{2}+\frac{T_{1}-T_{2}}{2} \cdot \frac{\frac{R_{1}}{R_{2}} \cdot\left(T_{2}-T_{4}\right)+\left(T_{1}-T_{3}\right)}{\frac{R_{1}}{R_{2}} \cdot\left(T_{2}-T_{4}\right)-\left(T_{1}-T_{3}\right)} \)

Problem/Ansatz:

Ich brauche Hilfe bei der Herleitung der Formel für das Dual Heat Flux Verfahren.

Comments

Ziel ist es durch die zwei Wärmeleitpfade den unbekannten thermischen Widerstand Rb, durch die zwei Wärmeleitpfade zu ersetzen. Damit kann man dann auf die Körperinnere Temperatur schließen.

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Hast du mal eine KI deiner Wahl gefragt? Gemini spukt mir eine komplette Herleitung deiner Formel aus. Ich poste dieses jetzt nicht.

Wenn du Schwierigkeiten beim Verständnis der KI hast kannst du diese oder alternativ auch hier nochmals nachfragen.

Bitte dann genau angeben was du nicht verstehst.

Gemini erzeugte zunächst nur einen Bruch und nicht deine Formel. Das herleiten deines Ausdrucks erforderte zunächst das geschickte Umformen des zuerst ausgegebenen Bruches. Aber auch das hat Gemini übernommen.

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Ja habe schon ChatGPT gefragt, dieser ist aber nicht auf das Ergebnis gekommen bzw. hat es auf den Weg schon verhauen und unkorrekte Schritte gemacht.

Answer 1

Ich habe da mal nur einen kleinen Zettel mit den Ansätzen und Lösungen gemacht.

Text erkannt:

Dual Heat Flux

In einem stationären Zustand fließt ein konstanter Wärmestrom vom Körperkern \( \mathrm{T}_{\mathrm{b}} \) durch das Gewebe \( \mathrm{R}_{\mathrm{b}} \) und anschließend durch die beiden Sensorkanale \( \mathrm{R}_{1} \) und \( \mathrm{R}_{2} \). Nach dem Fourier'schen Gesetz gilt für die beiden Pfade:

Pfad 1:
\( \dot{q}=\frac{T_{b}-T_{1}}{R_{b}}=\frac{T_{1}-T_{3}}{R_{1}} \)

Pfad 2:
\( \dot{q}=\frac{T_{b}-T_{2}}{R_{b}}=\frac{T_{2}-T_{4}}{R_{2}} \)

Wir lösen beide Gleichungen nach \( \mathrm{R}_{\mathrm{b}} \) auf und setzen die Resultate gleich:
\( \begin{array}{l} R_{b}=\frac{R_{1} \cdot\left(T_{b}-T_{1}\right)}{T_{1}-T_{3}} \\ R_{b}=\frac{R_{2} \cdot\left(T_{b}-T_{2}\right)}{T_{2}-T_{4}} \end{array} \)
\( \frac{R_{1} \cdot\left(T_{b}-T_{1}\right)}{T_{1}-T_{3}}=\frac{R_{2} \cdot\left(T_{b}-T_{2}\right)}{T_{2}-T_{4}} \)

Wir lösen diese Gleichung nach \( \mathrm{T}_{\mathrm{b}} \) auf:
\( T_{b}=\frac{R_{1} \cdot T_{1} \cdot\left(T_{2}-T_{4}\right)-R_{2} \cdot T_{2} \cdot\left(T_{1}-T_{3}\right)}{R_{1} \cdot\left(T_{2}-T_{4}\right)-R_{2} \cdot\left(T_{1}-T_{3}\right)} \)

Ersetze jetzt im Zähler \( T_{1} \) und \( T_{2} \) durch folgende Identitäten:
\( \begin{array}{l} T_{1}=\frac{T_{1}+T_{2}}{2}+\frac{T_{1}-T_{2}}{2} \\ T_{2}=\frac{T_{1}+T_{2}}{2}-\frac{T_{1}-T_{2}}{2} \end{array} \)

Ausmultiplizieren und auf zwei Brüche aufteilen liefert dann:
\( T_{b}=\frac{T_{1}+T_{2}}{2}+\frac{T_{1}-T_{2}}{2} \cdot \frac{R_{1} \cdot\left(T_{2}-T_{4}\right)+R_{2} \cdot\left(T_{1}-T_{3}\right)}{R_{1} \cdot\left(T_{2}-T_{4}\right)-R_{2} \cdot\left(T_{1}-T_{3}\right)} \)