Art und Lage von isolierten Singularitäten bestimmen

Question

Aufgabe:

Art und Lage von isolierten Singularitäten bestimmen

Gegeben sei f(z) = e^(-(1/(z-1))/ (z^2 + 1) für z Element komplexe Zahlen.

Die relevanten Stellen sind ja die Nullstellen des Nenners i und -i und im Exponent des Zählers darf z auch nicht 1 sein.

Problem/Ansatz:

Aber wie mach ich dann weiter, dass es besonders effizient ist.

In der Musterlösung steht für i und -i, da der Zähler dann ungleich Null ist sind es automatisch Pole erster Ordnung. Aber darf man das so einfach argumentieren? Und wie sieht es mit 1 aus?

Comments

Ja, darf man. Im Nenner einfache Nullstellen für i und -i, der Zähler ist dort holomorph, also Polstellen.

\( f(z)=\frac{e^{-\frac{1}{z-1}}}{z^{2}+1} \)

Für z=1 liegt eine wesentliche Singularität vor.

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Da eine e-Funktion mit reellem Exponenten grundsätzlich positive Werte hat, geht der Term sowohl bei Annäherung an 1 von unten als auch bei Annäherung von oben gegen plus unendlich.

Nun musst du nur noch überlegen, wie es bei Annäherung "von der Seite" aussieht.

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Da eine e-Funktion mit reellem Exponenten grundsätzlich positive Werte hat, geht der Term sowohl bei Annäherung an 1 von unten als auch bei Annäherung von oben gegen plus unendlich.

Bist du sicher? Was meinst Du mit von unten bzw. von oben? Rechts und links auf der x-Achse?

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Nein, darf man so nicht. Die Begründung, dass an den beiden Stellen im Nenner einfache Nullstellen sind, gehört zwingend dazu um auf Polstellen 1.Ord. zu schließen. Nur "Zähler \(\neq 0\)" reicht nicht.