Ein Würfel wird 120 mal geworfen - Approximation durch Normalverteilung

Question

Aufgabe:

Ein Würfel wird 120 mal geworfen. Die Zufallsvariable X soll beschreiben, wie oft dabei die Zahl 4 fällt.
(a) Um welche Verteilung handelt es sich?
(b) Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten in den folgenden Aufgabenteilen ist sehr
aufwendig, wenn die exakte Verteilung verwendet wird. Durch welche Verteilung läßt
sich die Verteilung von X gut annähern? Begründen Sie Ihre Wahl. Verwenden Sie
diese Verteilung in den folgenden Aufgabenteilen.
(c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, daß die Zahl 4 höchstens 25 mal fällt.
(d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß die Zahl 4 mindestens 18 mal fällt?
(e) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß die Zahl 4 mindestens 15 mal und höchstens
23 mal fällt?
(f) Für welche Anzahl a gilt, daß die Wahrscheinlichkeit, daß mindestens a Vieren fallen,
85% beträgt?

Problem/Ansatz:

Bei c) komme ich mittels der standardisierten Normalverteilung und der Tabelle genau auf den Wert der Lösung. Bei d) und e) habe ich andere Werte heraus als dort angegeben:

(c) 0.8888
(d) 0.7673
(e) 0.6965
(f) a = 17 (gerundet)

Ich komme auf d) 0,688 und e) 0,66 und f)16

Comments

Für eine Fehlersuche wäre es schon sinnvoll, deinen Rechenweg auch mitzuliefern.

Answer 1

Dann hat der Lehrer ohne Stetigkeitskorrektur mit Rundung gerechnet.

μ = n·p = 120·1/6 ≈ 20
σ = √(n·p·(1 - p)) = √(120·1/6·5/6) = 5/3·√6 ≈ 4.082

Φ((25 - 20)/4.082) ≈ Φ(1.22) ≈ 0.8888

Du siehst, wir runden das Argument der Normalverteilung auf 2 Nachkommastellen, um den Wert in der Tabelle ablesen zu können.

d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl 4 mindestens 18 mal fällt?

1 - Φ((17 - 20)/4.082) ≈ 1 - Φ(-0.73) = 1 - (1 - Φ(0.73)) = Φ(0.73) ≈ 0.7673

Ist das so klar?

Probier mal e genauso.

Bei f) ist vermutlich eben nur nach den Sigmaregeln zum Erwartungswert hin gerundet worden.

Comments

Danke!

c) hatte ich ja genau so gerechnet und das richtige Ergebnis herausbekommen.

Bei d) hatte ich z=(18-20)/4.082 genommen und dann  1-φ(z) gerechnet, da war dann der Fehler.

Auf die Art passen jetzt auch die anderen Werte.

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Prima, dass es jetzt passt.

Beachte bei d) einfach, dass das Gegenteil von "mindestens 18" "höchstens 17" ist. Ich bringe daher immer die kumulierten Wahrscheinlichkeitsaussagen in die Form P(X ≤ k). Dann kann man auch Tabellen der Binomialverteilung benutzen, soweit vorhanden.

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Aufgabe e) wie vom in der Kontroll-Lösung ermittelt

Näherung über die Normalverteilung

P(15 ≤ X ≤ 23)
= P(X ≤ 23) - P(X ≤ 14)
= Φ((23 - 20)/4.082) - Φ((14 - 20)/4.082)
= Φ(0.73) - Φ(-1.47)
= Φ(0.73) - (1 - Φ(1.47))
= Φ(0.73) + Φ(1.47) - 1
= 0.7673 + 0.9292 - 1
= 0.6965

Answer 2

Hast du daran gedacht, eine Stetigkeitskorrektur durchzuführen? Damit kommt man bei c) nämlich auch schon auf eine abweichende Lösung von 0,91107.

Du kannst deine Rechnungen gerne auch mal hier überprüfen: https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/normalverteilung1.htm

Answer 3

e)

(1) exakt:

\( \displaystyle P(15 \leq X \leq 23) = \sum\limits_{k=15}^{23} \binom{120}{k} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^{k} \cdot \left(1-\frac{1}{6}\right)^{120-k} \approx 0,72 \)

(2) approximativ:

\( \displaystyle \mu = np = 20 \quad ; \quad \sigma=\sqrt{np(1-p)}= \sqrt{\frac{600}{36}} \approx 4,082483 \)

(2a) mit Tabelle:

14,5 ist etwa 1,35 Std.abw. unter dem Erwartungwert, Tabellenwert 1 - 0,91149

23,5 ist etwa 0,86 Std.abw. über dem Erwartungswert, Tabellenwert 0,80511

Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa 0,72.

(2b) mit Rechner:

\( \displaystyle \Phi(23,5) - \Phi(14,5) = \int \limits_{14,5}^{23,5} \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sqrt{\frac{600}{36}}} \cdot e^{\Large -\frac{(x-20)^{2}}{2 \cdot \left(\frac{600}{36}\right)}} \; \text{d}x \approx 0,72  \)