Aufgabe #106 /1 von Eigenmann

Question

Aufgabe:

Aufgabe #106 /1 von Eigenmann

Ohne Taschenrechner; die Figuren sind nicht maßgetreu.

Paul Eigenmann, Aufgabe 1.3.106, ISBN 3-12-722310-2, 1981, S. 17.

Problem/Ansatz:

Die Werte von 2 der 3 Seiten der Fläche F sind irrationale Zahlen :\( \sqrt{65} \) und \( \sqrt{113} \)

Wie geht die Flächenberechnung mit diesen Vorgaben ohne Taschenrechner?

Comments

Eigenmann hat auch Lösungen mitgeliefert. Zu dieser Aufgabe schrieb er:

[spoiler]

\(\displaystyle 14 \, \text{cm}^2 \)

[/spoiler]

(eingangs zitiertes Werk, S. 57)

(Die Aufgaben im Teil 1.3 stehen unter dem Titel "Ähnlichkeit, Proportionalität, Formel des Heron".)

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sin (α)  = sin (180°-α)

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F1 und F2 sind nicht nur ähnlich sondern sogar kongruent, F und F2 haben gleiche Höhe und gleichlange Grundseiten.

(ist etwas besser als meine ursprüngliche Version 2F = 4*c*sin(α) = 4*c*sin(180°-α) = 4*c*(7/c) = 28
hatte Titel "Ähnlichkeit" übersehen)

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ist etwas besser als meine ursprüngliche Version

Natürlich sehr viel, und darauf wollte Eigenmann wohl auch hinaus. Grundlinie 4, Höhe 7. Aber der Fragesteller hatte ja \( \sqrt{113} \) ermittelt für die Seite von F, die dem Berührungspunkt der beiden Quadrate gegenüber liegt (was nachzuvollziehen ich selber nur mit Elektronik geschafft habe) und dann gefragt, wie man damit weiterkommt. Darum ist meine Antwort so, wie sie ist.

Answer 1

Seitenlängen von F:

\(\displaystyle a=4 \quad ; \quad b=\sqrt{65} \quad ; \quad c = \sqrt{113} \)

Heron:

\(\displaystyle A=\frac{1}{4} \cdot \sqrt{4 \cdot a^{2} \cdot b^{2}-\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)^{2}} \\\\ = \frac{1}{4} \cdot \sqrt{4160-1024} \\\\ = \frac{1}{4} \cdot 56 \\\\ = 14 \)

Comments

Danke

Wenn auch weit entfernt vom Besten. Für mich ist es die beste Antwort, weil sie mir die hier  passende Heron-Version nennt, die ich leider nicht kannte. Es mit der mir bekannten Version mit

\( \sqrt{s(s - ...) (s- ...)  ...} \)

zu versuchen, hielt ich für hoffnungslos, weshalb ich bei Euch nachfrug.

Übrigens: Die \( \sqrt{ 113} \) -Seite fand ich mit dem cos-Satz.

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... ist es die beste Antwort

Es ist vor allem die (bisher) einzige. :)

... die hier passende Heron-Version nennt

Man findet die Version bspw. unter https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_des_Heron

In meiner Bronstein-Ausgabe steht sie nicht. In der aktuellen 13. Auflage der Papula-Formelsammlung "für Ingenieure und Naturwissenschaftler" kommt das Wort "Heron" nicht vor.

... fand ich mit dem cos-Satz.

Ich auch, aber nur mit Elektronik, wie oben bereits geschrieben.

Answer 2

Die Fläche eines Dreiecks berechnet sich nach:

A = 1/2 * g * h = 1/2 * a * b * sin(γ)

Also 1/2 mal das Produkt zweier Seiten des Dreiecks mal dem Sinus des eingeschlossenen Winkels.

Nun gilt in der gegebenen Figur:

α + β + 90° + 90° = 360° --> α = 180° - β

Da sin(β) = sin(180° - β) gilt für die Flächen beider Dreiecke:

A = 1/2 * 7 * 4 = 1/2 * a * c * sin(β) = 1/2 * a * c * sin(180° - β) = 14 cm²

Comments

Es handelt sich hier auch um flächengleiche Flankendreiecke:

https://de.wikipedia.org/wiki/Quadrat#Fl%C3%A4chengleichheit_von_Flankendreiecken