Ein Blumenzüchter hat eine neue Primelsorte gezüchtet

Question

Aufgabe:

Ein Blumenzüchter hat eine neue Primelsorte gezüchtet, die resistenter gegen Schädlingsbefall ist. Ein ambitionierter Mitarbeiter weiß, dass Primeln in \( 70 \% \) aller Fälle eine Blüte mit sechs Blütenblättern haben ( \( H_{0} \) ). In der neuen Züchtung glaubt er, habe sich dieser Anteil verändert.
Der Mitarbeiter möchte dies überprüfen und setzt dafür 2 Stichproben mit jeweils 50 Blumen ein.
(a) Stellen Sie den dazu notwendigen Hypothesentest auf. Ermitteln Sie die relativen Häufigkeiten der Stichproben, welche die Hypothese \( H_{0} \) bestätigen. Das Signifikanzniveau wird mit \( 15 \% \) angenommen.
(b) In Stichprobe 1 werden 31 sechsblättrige Primeln vorgefunden. Wird die Hypothese damit gestützt? Wie lauten die Prüfgröße und der \( P \)-Wert. Machen Sie über den \( P \)-Wert eine Aussage üder die Signifikanz des Tests. Welches Risiko besitzt die Entscheidung, wenn die Alternative (i) \( p_{1}=0,75 \) bzw. (ii) \( p_{1}=0,5 \) lautet?
(c) In Stichprobe 2 werden 25 sechsblättrige Primeln vorgefunden. Wird die Hypothese damit ebenfalls gestützt? Wie lauten auch hier Prüfgröße und \( P \)-Wert. Machen Sie über den \( P \)-Wert eine Aussage üder die Signifikanz des Tests. Welche Güte besitzt die 'Entscheidung, wenn die Alternative (i) \( p_{1}=0,75 \) bzw. (ii) \( p_{1}=0,5 \) lautet?

Problem/Ansatz:

a) habe ich gelöst, der Annahmebereich ist [31;39]

Die Musterlösung bei b) und c) lautet:

(b) Z = -1.2344, P-Wert= 0.1093 > α/2, (i): β= 0,7707, (ii): ß = 0,0655
(c) Z = -2.1605, P-Wert = 0.0154 < α/2, (i): G = 0,293, (ii): G = 0,9345

Bei b) komme ich auf die angegebene Prüfgröße und P-Wert, aber nicht auf die beiden β-Werte.

Bei c) komme ich auf eine ganz andere Prüfgröße von Z= -3.09 und einen P-Wert von 0.001

Kann mir bitte hier jemand sagen, wie man auf die angegebenen Werte kommt?

Nachtrag: ich glaube ich habe den Fehler in der Aufgabe durch Rückwärts rechnen gefunden. Mit 28 statt 25 Primeln kommt man genau auf die angegebenen Z und P Werte.

Aber die β-Werte bekomme ich weiterhin nicht heraus …

Comments

Hier wird auch mit der Normalverteilung genähert obwohl die Regel von Moivre und Laplace nicht erfüllt sind? Die Wahrscheinlichkeiten sollte man dann eigentlich mit der Binomialverteilung berechnen.

b)
Z = (31 - μ)/σ = (31 - 35)/(√42/2) = -1.234
P-Wert = P(X ≤ 31) = Φ(-1.23) = 0.1093

c)
Z = (25 - μ)/σ = (25 - 35)/(√42/2) = -3.09
P-Wert = P(X ≤ 25) = Φ(-3.09) = 0.0010

alternativ mit deinen 28 statt 25

Z = (28 - μ)/σ = (28 - 35)/(√42/2) = -2.16
P-Wert = P(X ≤ 28) = Φ(-2.16) = 0.0154

Die β-Werte kann ich so auf die schnelle nicht wirklich nachvollziehen. Ich selber als auch meine benutzte Statistiksoftware hat andere Werte heraus.

Bei a) sollte man übrigens relative und nicht absolute Häufigkeiten angeben? Aber vielleicht sind dort ja auch in der Musterlösung absolute Häufigkeiten angegeben. Würde mich nicht wundern.

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Ich denke, ich habe den Fehler bei β nun auch gefunden (ein bisschen wie Detektiv spielen).

Da β+G = 1 sein müssen, können die Werte bei b)i und c)i) nicht richtig sein, während sie bei ii) korrekt sind und ich sie auch nachvollziehen kann.

Wenn ich mit derselben Formel bei i) rechne, komme ich auf einen Z Wert von 0,707, der genau zu dem G Wert 0,293 unter c) paßt. Es wurde also wohl der Z Wert statt β angegeben und dazu noch mit einem Schreibfehler als 0,7707.

Die richtigen Werte sind β=0,75 bzw. G=0,25.