Question

Quadratische Ungleichung mit Bruch – Verständnisfrage

Text erkannt:

Ausgehend von \( 9 y^{2}+31-27 y=(3 y+n)^{2} \) und \( y=\frac{n^{2}-31}{-27-6 n} \) oder \( y=\frac{31-n^{2}}{6 n+27} \) und y \( <3 \) gelange ich für den Fall, daß \( -27-6 n \) oder \( 6 n+27>0 \) zu \( n^{2}+18 n+50>0 \). Dafür kann ich mit einer p/q Formel zwei Werte berechnen. Da ich es jedoch immer etwas verwirrend finde, was man als </> zu setzen hat, schlug ich einen Faktorisierungsweg ein. Der ergibt \( (\mathrm{n}+9)^{2}-31>0 \).
Über \( [(\mathrm{n}+9)+\sqrt{31}][(\mathrm{n}+9)-\sqrt{31}] \) und \( \sqrt{31} \) grob \( =5 \frac{1}{2} \) (etwas genauer ist \( 5 \frac{3}{5} \) ) gelange ich \( \mathrm{zu}(\mathrm{n}+ \left.14 \frac{1}{2}\right)\left(\mathrm{n}+3 \frac{1}{2}\right) \). Nun soll \( \mathrm{n}^{2}+18 \mathrm{n}+50>0 \), d.h. entweder sind beide Faktoren positiv oder negativ.
D.h. \( \mathrm{n}+14 \frac{1}{2}>0 \) und \( \mathrm{n}>-14 \frac{1}{2} \) sowie \( \mathrm{n}+3 \frac{1}{2}>0 \) und \( \mathrm{n}>-3 \frac{1}{2} \). Für \( \mathrm{n}>-14 \) bzw. \( \mathrm{n}<-4 \) ist jedennoch \( 27+6 n<0 \), wie z.B. bei \( n=-7 \), selbst wenn \( y<3 \) und positiv. Denn \( \frac{31-49}{27-42}=\frac{-18}{-15}=\frac{6}{5}<3 \). Bei \( \mathrm{n}=20 \) oder \( \mathrm{n}=50 \) ist \( \mathrm{y}=-\frac{369}{147}<3 \) bzw. \( \mathrm{y}=-\frac{2469}{327}<3 \). Wohingegen \( \mathrm{n}=-4 \mathrm{y}>3 \) liefert. Nimmt man beide als negativ, also \( n+14 \frac{1}{2}<0 \) und \( n+3 \frac{1}{2}<0 \), mündet das in \( n<-14 \frac{1}{2} \) und \( n<-3 \frac{1}{2} \). Alsdann ist freilich \( 27+6 \) n auf jeden Fall negativ, wie bei \( \mathrm{n}=-5=\frac{6}{-3}=-2<3 \), während mit \( \mathrm{n}=-15 y=\frac{-194}{-63}=3 \frac{5}{63}>3 \). Muß man folglich für den Fall \( 0<n^{2}+18 n+50 \) festsetzen, daß \( n \geq-3 \), weil auch nur dann \( 0<n^{2}+ 18 n+50 \) ?
\( \begin{array}{l} -14 \frac{1}{2}<\mathrm{n}>-3 \frac{1}{2} \\ -14 \frac{1}{2}>n<-3 \frac{1}{2} \\ \mathrm{n}^{2}+18 \mathrm{n}+50>0 \text { und } n>\frac{-50}{n+18} \end{array} \)

Bei \( 0>\mathrm{n}^{2}+18 \mathrm{n}+50 \) hat man entweder \( n+14 \frac{1}{2}>0 \) und \( n+3 \frac{1}{2}<0 \) mit \( n>-14 \frac{1}{2} \) bzw. \( n<-3 \frac{1}{2} \) oder \( n+14 \frac{1}{2}<0 \) und \( n+3 \frac{1}{2}>0 \) mit \( n<-14 \frac{1}{2} \) bzw. \( n>-3 \frac{1}{2} \).
Bei \( -3 \frac{1}{2}>n>-14 \frac{1}{2} \) liegt n also zwischen -14 und -4 , wobei -4 noch zu groß ist. Bei \( -3 \frac{1}{2}<n<-14 \frac{1}{2} \) liegt aber doch ein Widerspruch vor, denn n kann ja nicht zugleich das eine und das andere sein. Fällt das daher nicht automatisch weg?

Eine Variation dieser Frage hatte ich bereits mal gepostet. Mußte zwischendurch Anderes abarbeiten. Jetzt in allgemeiner Form.

Comments

Du solltest erst einmal definieren, was y und n sind. Ist y eine reelle und n eine natürliche Zahl?

Da du mit einer Gleichung startest ist der Wechsel zu einer Ungleichung unnötig und nicht hilfreich. Warum sollte denn y < 3 sein? Ist das irgendwie vorgegeben? Was willst Du denn eigentlich berechnen? Für welche n-Werte y Null wird?

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Y und n liegen in $$\mathbb{Q}$$.

Warum antwortest Du so vorschnell. Mit einem entsprechenden y–Wert soll sich natürlich ein Quadrat ergeben. Und y soll wiederum < 3, weil eine Kubikwurzel in der Form 3 – y zu bestimmen ist. Es geht mir aber nicht um die ganze Aufgabe(Diophant V, 17), sondern nur um die nicht ausgeführte Zwischenrechnung. Und es geht nur um rechnerische Lösungen.

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y ist also eine Funktion von der Variablen n? Und was ist die Frage? Der Graph sieht so aus (in ℝ)

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Deine Frage ist völlig unklar und deine Ausführungen derart unübersichtlich und verwirrend, dass niemand weiß, was du eigentlich willst.

Bei quadratischen Ungleichungen kann man sich sehr schön vorstellen, wie ein zugehöriger Funktionsgraph aussehen könnte. Damit hat man leicht argumentiert, ob die Werte zwischen den Lösungen der Gleichung oberhalb oder unterhalb liegen.

Answer 1

Es wäre günstig die original Fragestellung zu kennen worauf sich deine Rechnungen begründen.

Die scheinbar quadratische Gleichung ist im Grunde eine lineare Gleichung die man nach y auflösen kann.

9·y^2 - 27·y + 31 = (3·y + n)^2
9·y^2 - 27·y + 31 = 9·y^2 + 6·n·y + n^2
6·n·y + 27·y = 31 - n^2
(6·n + 27)·y = 31 - n^2
y = (31 - n^2)/(6·n + 27)

Dabei muss der Nenner dieses Bruches aber nicht notwendigerweise > 0 sein. Der Nenner darf nur nicht 0 sein.

Damit y nun < 3 ist muss gelten

(31 - n^2)/(6·n + 27) < 3 → n ≠ - 9/2

Hier macht man eine Fallunterscheidung

1. Fall: 6·n + 27 > 0 → n > - 4.5
31 - n^2 < 3·(6·n + 27)
31 - n^2 < 18·n + 81
n^2 + 18·n + 50 > 0 --> n < - 9 - √31 ∨ n > - 9 + √31

2. Fall: 6·n + 27 < 0 --> n < - 4.5
31 - n^2 > 3·(6·n + 27)
31 - n^2 > 18·n + 81
n^2 + 18·n + 50 < 0 --> - 9 - √31 < n < - 9 + √31 --> - 9 - √31 < n < - 4.5

Nun führen wir beide Teillösungen zu einer Lösung zusammen.

- 9 - √31 < n < - 4.5 oder n > - 9 + √31

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oder näherungsweise

- 14.568 < n < - 4.5 ∨ n > - 3.432