Lange Rechenaufgabe lösen: (7 m + 5 n n) * (5n - 7 m) * (7 m - 5n)

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Habe eine Aufgabe, die ich leider nicht lösen kann.Könnt ihr die für mich lösen?

(7 m + 5 n n) * (5n - 7 m) * (7 m - 5n)
Gefragt 21 Feb 2012 von mathe-hausaufgaben

1 Antwort

+1 Punkt

Ausnahmsweise, denn die ist wirklich umfangreich und eher eine Beschäftigungsaufgabe für Schüler (bzw. könnt ihr euch auch damit testen, ob ihr die Rechenregeln vollständig beherrscht)!

Wenn es wirklich stimmt, dass es (7 m + 5 n n) also n*n bzw. n² sein soll, dann ist es eine Aufgabe ohne ein *schönes* Ergebnis und mit einer langen Berechnung, die man am Besten mit dem sogenannten "Substituieren" löst, das heißt man ersetzt einen beliebigen Term zwischenzeitlich durch einen anderen:

// 7m wird zu a und 5n wird zu b
// 7m = a
// 5n = b
// so ergibt sich:

= (7 m + 5nn) * (5n - 7 m) * (7 m - 5n)
= (a + b*n) * (b - a) * (a - b)
// jetzt 2. Klammer mit *(-1) rechnen, so tauschen sich dort die Vorzeichen
= (a + b*n) * (-1)*(-b + a) * (a - b)
// nun beide Summanden in der 2. Klammer drehen (Kommutativgesetz)
= (a + b*n) * (-1)*(a - b) * (a - b)
// Quadrat bilden aus den letzten beiden Klammern
= (a + b*n) * (-1)*(a - b)²

// 2. Binomische Formel (a - b)² = a² - 2ab + b² für zweite Klammer, also erhalten wir:
= (a + b*n) * (-1)*(a² - 2ab + b²)
// (-1) nach vorne
= (-1)*(a + b*n)*(a² - 2ab + b²)
// jedes Element der 1. Klammer mit jedem Element der 2. Klammer multiplizieren
= (-1)*(a *(a² - 2ab + b²) + b*n*(a² - 2ab + b²))
// zusammenfassen
= (-1)*(a³ - 2a²b + ab² + b*n*a² - 2ab²*n + b³*n)
// die (-1) rechnen, d. h. alle Vorzeichen ändern sich
= -a³ + 2a²b - ab² - b*n*a² + 2ab²*n - b³*n
// jetzt ordnen nach gleichen Variablen
= -a³ + 2a²b - ab² - a²*b*n + 2ab²*n - b³*n
// Substitution rückgäng machen, also a = 7m und b = 5n
= -(7m)³ + 2(7m)²(5n) - (7m)(5n)² - (7m)²*(5n)*n + 2(7m)(5n)²*n - (5n)³*n
// Potenzen bilden
= -7³m³ + 2*7²m²*5n - 7m*5²n² - 7²m²*5n*n + 2*7m*5²n²*n - 5³n³*n
// nun zu Ende ausrechnen
= -343m³ + 2*49*5 m²n - 7*25*mn² - 49*5m²n² + 14*25mn³ - 125 n^4
= -343m³ + 490 m²n - 175 mn² - 245 m²n² + 350 mn³ - 125 n^4
// sortieren nach aufsteigenden/absteigenden Potenzen
= -343m³ - 245 m²n² + 490 m²n + 350 mn³ - 175 mn² - 125 n^4

(Hinweis Schreibweise "^4" meint "hoch 4")

* Notwendiges Wissen für die Rechenschritte:
Mathe-Video: Kommutativgesetz und Assoziativgesetz
Mathe-Videos: Binomische Formeln
Mathe-Videos: Terme, Termumformung, Gleichungen umstellen

Eine Probe der 1. Formel und der Endformel, z. B. mit m = 3 und n = 5 ergibt:
= (7 *(3) + 5*(5)*(5)) * (5*(5) - 7 *(3)) * (7 *(3) - 5*(5)) = -2.336
= -343*(3^3) - 245 *(3^2)*(5^2) + 490 *(3^2)*(5) + 350 *(3)*(5^3) - 175 *(3)*(5^2) - 125 *(5^4...) = -2.336

Beantwortet 21 Feb 2012 von Matheretter Experte V
Ich hab's auch mal durchgerechnet, stimmt! ;)

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