Ableitung mit Quotientenregel: y=(x^2-3x-4)/(x+2)

Question

ich komme bei der folgenden Aufgabe nicht weiter. y=(x²-3x-4)/ (x+2)

Hier muss ich bei der ersten Ableitung die Quotientenregel anwenden. Die Lösung lautet: y'= (x²+4x-2)/ (x+2)²

Kann mir jemand sagen wie man auf diese Ableitung kommt

Answer 1

y = u / v = (x^2 - 3x - 4) / (x + 2)

u = x^2 - 3x - 4
u' = 2x - 3

v = x + 2
v' = 1

y' = (u' * v - u * v') / v^2
y' = ((2x - 3) * (x + 2) - (x^2 - 3x - 4) * (1)) / (x + 2)^2
y' = ((2·x^2 + x - 6) - x^2 + 3x + 4) / (x + 2)^2
y' = (x^2 + 4·x - 2) / (x + 2)^2

Ich denke man kann das so ganz gut nachvollziehen.

Comments

Ja danke für die Hilfe. Ich muss auch davon jetzt die zweite Ableitung bilden

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y' = u / v = (x^2 + 4·x - 2) / (x + 2)^2

u = x^2 + 4·x - 2
u' = 2·x + 4 = 2·(x + 2)

v = (x + 2)^2
v' = 2·(x + 2)

y'' = (u' * v - u * v') / v^2
y'' = ((2·(x + 2)) * ((x + 2)^2) - (x^2 + 4·x - 2) * (2·(x + 2))) / (x + 2)^4
y'' = (2 * ((x + 2)^2) - (x^2 + 4·x - 2) * 2) / (x + 2)^3
y'' = ((2·x^2 + 8·x + 8) - 2·x^2 - 8·x + 4) / (x + 2)^3
y'' = 12 / (x + 2)^3

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Ich verstehe den letzten Schritt nicht was ich markiert habe.

y'' = ((2·x^2 + 8·x + 8) - 2·x^2 - 8·x + 4) / (x + 2)^3

y'' = 12 / (x + 2)^3

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Nimm mal die Klammer weg und schau mal genau hin:

2·x^2 + 8·x + 8 - 2·x^2 - 8·x + 4

Das rote und blaue hebt sich auf und das grüne addiert sich. Die Klammer zusammengefasst ergibt also nicht 12 sondern die Klammer mit dem dahinter gibt 12.