Problem bei Aufgabe mit Gleichungen

Question

Sei p,n ∈ ℕ , n ≥ 1     S^p_n  := 1^p + 2^p + ... + n^p  

Zeigen Sie

a)  S³_n = (1+2+...+n)²

b) (p+1) S^p_n + ( (p+1) über 2) S^p-1_n + ... + S⁰_n = (n+1)^p+1 -1

Hinweis: b) addiere man die Gleichungen

(x+1)^p+1 - x^p+1 = ((p+1) über 1) x^p + ((p+1) über 2) x^p-1 + ... + 1

 

Brauche Hilfe, der HInweis hilft mir leider auch nicht weiter :(

Comments

Aber bei a) kommst zurecht?

Answer 1

Hi,

Die Behauptung was bewiesen werden soll, stimmt nicht ganz, wie es richtig lauten muss, siehst Du aus dem Beweis $$\\$$

Für Teil b folgt mit dem Hinweis $$(1+x)^{p+1}-x^{p+1}=\sum_{k=0}^{p+1}\left(\begin {matrix}p+1 \\ k \end {matrix} \right)x^k-x^{p+1}=\sum_{k=0}^{p}\left(\begin {matrix}p+1 \\ k \end {matrix} \right)x^k$$
Der Ausdruckk wird über x summiert wobei x=1...n läuft $$\\$$
Damit ergibt sich die linke Seite zu
$$\sum_{x=1}^n\left[ (1+x)^{p+1}-x^{p+1}\right]=(1+n)^{p+1}-1$$ und die rechte Seite zu
$$\begin{aligned} \sum_{x=1}^n\sum_{k=0}^{p}\left(\begin {matrix}p+1 \\ k \end {matrix} \right)x^k=\sum_{k=0}^{p}\left(\begin {matrix}p+1 \\ k \end {matrix} \right)\sum_{x=1}^nx^k=\sum_{k=0}^{p}\left(\begin {matrix}p+1 \\ k \end {matrix} \right)S^k_n=(p+1)S^p_n+\sum_{k=0}^{p-1}\left(\begin {matrix}p+1 \\ k \end {matrix} \right)S^k_n \end{aligned}$$ und damit die Behauptung.

Teil b wird am besten über vollständige Induktion bewiesen. Für n=1 ist die Behauptung wahr. Also muss noch folgendes bewiesen werden.
$$\begin{aligned} \sum_{k=1}^{n+1}k^3=\left( \sum_{k=1}^{n+1}k \right)^2 \end{aligned}$$ Dies ergibt sich aus $$\begin{aligned}\sum_{k=1}^{n+1}k^3=\sum_{k=1}^{n}k^3+(n+1)^3=\left( \sum_{k=1}^{n}k \right)^2+(n+1)^3= \left( \sum_{k=1}^{n+1}k \right)^2\end{aligned}$$