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Sei p,n ∈ ℕ , n ≥ 1     Spn  := 1p + 2p + ... + np  

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a)  S3n = (1+2+...+n)2

b) (p+1) Spn + ( (p+1) über 2) Sp-1n + ... + S0n = (n+1)p+1 -1

Hinweis: b) addiere man die Gleichungen

(x+1)p+1 - xp+1 = ((p+1) über 1) xp + ((p+1) über 2) xp-1 + ... + 1

 

Brauche dringend Hilfe, der HInweis hilft mir leider auch nicht weiter :(

von
Aber bei a) kommst zurecht?

1 Antwort

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Hi,

Die Behauptung was bewiesen werden soll, stimmt nicht ganz, wie es richtig lauten muss, siehst Du aus dem Beweis $$ \\ $$

Für Teil b folgt mit dem Hinweis $$ (1+x)^{p+1}-x^{p+1}=\sum_{k=0}^{p+1}\left(\begin {matrix}p+1 \\ k \end {matrix} \right)x^k-x^{p+1}=\sum_{k=0}^{p}\left(\begin {matrix}p+1 \\ k \end {matrix} \right)x^k $$
Der Ausdruckk wird über x summiert wobei x=1...n läuft $$ \\ $$
Damit ergibt sich die linke Seite zu
$$ \sum_{x=1}^n\left[ (1+x)^{p+1}-x^{p+1}\right]=(1+n)^{p+1}-1 $$ und die rechte Seite zu
$$ \begin{align} \sum_{x=1}^n\sum_{k=0}^{p}\left(\begin {matrix}p+1 \\ k \end {matrix} \right)x^k=\sum_{k=0}^{p}\left(\begin {matrix}p+1 \\ k \end {matrix} \right)\sum_{x=1}^nx^k=\sum_{k=0}^{p}\left(\begin {matrix}p+1 \\ k \end {matrix} \right)S^k_n=(p+1)S^p_n+\sum_{k=0}^{p-1}\left(\begin {matrix}p+1 \\ k \end {matrix} \right)S^k_n \end{align}$$ und damit die Behauptung.

Teil b wird am besten über vollständige Induktion bewiesen. Für n=1 ist die Behauptung wahr. Also muss noch folgendes bewiesen werden.
$$ \begin{align} \sum_{k=1}^{n+1}k^3=\left( \sum_{k=1}^{n+1}k \right)^2 \end{align}$$ Dies ergibt sich aus $$ \begin{align}\sum_{k=1}^{n+1}k^3=\sum_{k=1}^{n}k^3+(n+1)^3=\left( \sum_{k=1}^{n}k \right)^2+(n+1)^3= \left( \sum_{k=1}^{n+1}k \right)^2\end{align}$$
von 23 k

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