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Man hat eine funktion f:ℂ→ℂ und eine periode p>0. Es gilt: f(x) = f(x+p) für alle x∈ℂ

Zeige dass auch folgendes gilt:

f(x) = f(x+np) für alle x∈ℂ und n∈ℤ
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Man hat eine funktion f:ℂ→ℂ und eine periode p>0. Es gilt: f(x) = f(x+p) für alle x∈ℂ

Zeige dass auch folgendes gilt:

f(x) = f(x+np) für alle x∈ℂ und n∈ℤ

Beweis mit vollständiger Induktion:

Verankerung:

f(x) = f(x + 1*p)          gilt nach Voraussetzung.

Induktionsschritt n --> n+1

Ind. beh. f(x) = f(x+ (n+1)p)
Ind. vor. f(x) = f(x + np)

Bew: f(x + (n+1)p) = f(x + np + p) = f((x+np) + p)         | wegen Vor:  f(x) = f(x+p) 

= f(x+np)       |Ind.vor.

= f(x)

Nun noch ein 2. Induktionsschritt von n--> n-1, da n auch 0 oder neg. sein kann.

n=0 ist trivial: f(x) = f(x)

n=-1 f(x) = f(x-p)         |Subst. z=x-p und daher x = z+p

f(z+p) = f(z)     richtig wegen Vor:  f(x) = f(x+p) 

Ind. schritt für n negativ:   

 

Ind. beh. f(x) = f(x+ (n-1)p)
Ind. vor. f(x) = f(x + np)

Bew: f(x + (n-1)p) = f(x + np - p) = f((x+np) - p)         | wegen Vor:  f(x) = f(x-p) 

= f(x+np)       |Ind.vor.

= f(x)

qed.

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