Man hat eine funktion f:ℂ→ℂ und eine periode p>0. Es gilt: f(x) = f(x+p) für alle x∈ℂ
Zeige dass auch folgendes gilt:
f(x) = f(x+np) für alle x∈ℂ und n∈ℤ
Beweis mit vollständiger Induktion:
Verankerung:
f(x) = f(x + 1*p) gilt nach Voraussetzung.
Induktionsschritt n --> n+1
Ind. beh. f(x) = f(x+ (n+1)p)
Ind. vor. f(x) = f(x + np)
Bew: f(x + (n+1)p) = f(x + np + p) = f((x+np) + p) | wegen Vor: f(x) = f(x+p)
= f(x+np) |Ind.vor.
= f(x)
Nun noch ein 2. Induktionsschritt von n--> n-1, da n auch 0 oder neg. sein kann.
n=0 ist trivial: f(x) = f(x)
n=-1 f(x) = f(x-p) |Subst. z=x-p und daher x = z+p
f(z+p) = f(z) richtig wegen Vor: f(x) = f(x+p)
Ind. schritt für n negativ:
Ind. beh. f(x) = f(x+ (n-1)p)
Ind. vor. f(x) = f(x + np)
Bew: f(x + (n-1)p) = f(x + np - p) = f((x+np) - p) | wegen Vor: f(x) = f(x-p)
= f(x+np) |Ind.vor.
= f(x)
qed.
