Parallelprojektion auf Hangebene mit Matrix

Question

Es geht bei meiner Frage um die Parallelprojektion. Die Grundlagen dafür verstehe ich, aber ich habe eine Verständnisfrage:

In allen Beispielen die ich gefunden habe war die Ebene immer eine Ebene die am Ende =0 war, also zum Beispiel:

$$ E:=3*{ x }_{ 1 }+{ x }_{ 3 }=0 $$ oder ganz einfach die x1x2 Ebene

Wenn ich das ganze jetzt aber auf eine Hangebene projeziere, reicht die Matrix ja nicht mehr.. Kann ich dann wie im Beispiel unten einfach den Verschiebungsvektor dahinter schrieben?

$$ E:=3*{ x }_{ 2 }+{ x }_{ 3 }=5 $$
$$ g:= <a,b,c> + r * <1,1,-1> $$

g in E einsetzen:

$$ \Rightarrow r = 5/3 - (4/3)*b -(1/3)*c $$

eingesetzt kommt folgende Matrix dabei raus:

\( \left[\begin{array}{c}{a+\frac{5}{3}-\frac{4}{3} b-\frac{1}{3} c} \\ {-\frac{1}{3} b+\frac{5}{3}-\frac{1}{3} c} \\ {\frac{4}{3} c-\frac{5}{3}+\frac{4}{3} b}\end{array}\right] \)

Was mache ich dann jeweils mit den Zahlen ohne Variable? Ist diese Vorgehensweise richtig?

\( \left[\begin{array}{rrr}{1} & {-\frac{4}{3}} & {-\frac{1}{3}} \\ {0} & {-\frac{1}{3}} & {-\frac{1}{3}} \\ {0} & {\frac{4}{3}} & {\frac{4}{3}}\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{l}{a} \\ {b} \\ {c}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{\frac{5}{3}} \\ {\frac{5}{3}} \\ {-\frac{5}{3}}\end{array}\right] \)

Comments

Versteh ich das richtig: du berechnest den Fixpunkt mit g n E?

Du hast bisher $$\Rightarrow r = 5/3 - (4/3)*b -(1/3)*c$$

Wo ist denn hier a? Kennst du a,b,c nicht?

Jetzt a, b,c einsetzen in g → Fixpunkt.

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nein ich habe die richtung aus der projeziert wird, das ist <1,1,-1>

der punkt a,b,c ist allgemein, da wird also dann später irgendein punkt für eingesetzt

und projeziert wird das ganze in die ebene E (die untere)

Mein Ansatz war jetzt, das Allgemein vereinfacht als Matrix und verschiebungsvektor zu schreiben. Allerdings weiß ich nicht ob der Verschiebungsvektor da so einfach zulässig ist, weil er bei den Beispielen bei denen die Ebene meist =0 ist wegfällt
Wenn es so stimmt wie ich es mir denke, kann man jetzt jeden beliebigen Punkt P(a|b|c) da einsetzen und erhält seinen Projezierten Punkt P'

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Aha:
Du kannst also die Matrix bestimmen mit der auf E2: 3y + z = 0 projiziert wird.

Schau mal welcher Punkt der Ebene E: 3y + z = 5 in (0,0,0) landet.

t(1,1,-1) in E einsetzen.

3t - t = 5

2t = 5

t = 2.5

Also der Punkt P(2.5, 2.5, -2.5)

Ich würde sagen, dass sein Ortsvektor v = (2.5, 2.5, -2.5) gerade der Verschiebungvektor ist, den du zu addieren brauchst.

Test diese Idee aber auf jeden Fall noch mit ein paar andern Punkten auf E (z.B. (0,1,2)) und neben E (z.B. (0+1,1+1,2-1) = (1,2,1) von denen du weisst, dass was das Bild sein muss.

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ich weiß ja blöderweise nicht was das bild ist :D aber wieso soll 2.5|2.5| 2.5 der verschiebungsvektor sein? Ich habe da doch schon 5/3 , 5/3, 5/3.

Ich glaube wir reden aneinander vorbei, ich versuche meine aufgabe nochmal was anschaulicher zu beschreiben, machen wir eine Textaufgabe draus.

Ein Haus hat die gegebenen Eckpunkte A bis F (Bestehend aus einem Quader und einem Spitzdach)
Die Sonne scheint annähernd parallel aus der Richtung  v = < 1, 1, -1>
Das Haus steht auf einer Ebene mit der Ebenengleichung:

E := 3* x_2 +x_3 = 5

Aufgabe ist jetzt die Schattenpunkte der Eckpunkte des Hauses zu errechnen, also eine Parallelprojektion.

Dazu habe ich (damit ich nicht für jeden Punkt den ganzen Scheiß ausrechnen muss) einen allgemeinen Punkt P mit ( a | b | c) auf die gegebene Ebene projeziert. Dazu habe ich eine Gerade g mit dem Richtungsvektor v und dem Stützvektor P gemacht.

Dann habe ich den Schnittpunkt zwischen g und E berechnen, also den Schattenpunkt des variablen Punktes P. Da kam das raus:

\( \left[\begin{array}{c}{a+\frac{5}{3}-\frac{4}{3} b-\frac{1}{3} c} \\ {-\frac{1}{3} b+\frac{5}{3}-\frac{1}{3} c} \\ {\frac{4}{3} c-\frac{5}{3}+\frac{4}{3} b}\end{array}\right] \)

Jetzt habe ich a b und c aus der Matrix rausgezogen, um die als vektor davorschreiben zu können (da kann ich dann nachher jeden beliebigen Punkt A bis F einsetzen.

Vereinfacht steht da das:

\( \left[\begin{array}{rrr}{1} & {-\frac{4}{3}} & {-\frac{1}{3}} \\ {0} & {-\frac{1}{3}} & {-\frac{1}{3}} \\ {0} & {\frac{4}{3}} & {\frac{4}{3}}\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{l}{a} \\ {b} \\ {c}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{\frac{5}{3}} \\ {\frac{5}{3}} \\ {-\frac{5}{3}}\end{array}\right] \)

Jetzt ist die Frage, ob ich jetzt tatsächlich jeden Punkt einfach in < a ,b ,c > einsetzen kann. Mich verwirrt der addierte vektor < 5/3 , 5/3 , -5/3 >. Bei allen aufgaben die ich bisher zu dem Thema gerechnet habe, war die Ebene auf die projeziert wird immer die x1x2 Ebene oder beispielsweise die x2x3 Ebene, also eine Ebene, bei der hinter dem Gleichzeichen eine 0 steht. Damit gibt es  nach dem vereinfachen logischerweise keinen Vektor den man addieren kann/muss.

Daher meine Frage ob der zu addierende Vektor da einfach so angehängt werden kann und ob das richtig ist. Ich hoffe jetzt versteht man es

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Man darf da Vektoren addieren.

Diese Addition ist eine Parallelverschiebung, die nach der Projektion auf E2 ausgeführt wird.

Wenn dein Vektor stimmt, kannst du jetzt die Punkte die abgebildet werden sollen bei (a,b,c) einsetzen. Das solltest du mit ein paar Punkten testen.

(Ich komme allerdings auf 5/2 und nicht 5/3 für die Verschiebung.)

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Wenn ich nicht so unfähig gewesen wäre und die richtige ebene mit 4x2 statt 3x2 geschrieben hätte wäre es auch richtig gewesen, aber das habe ich wohl was verkackt :D

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Na ja! Hoffe, dass du das nun erledigen konntest.