f(A1)\f(A2) C f(A1\A2) Warum nur Teilmenge?

Question

ich habe Frage zu folgender Aufgabenstellung:

Sei f: M->N eine Abbildung. Seien A1,A2 C M und B1, B2 C N. Zeigen Sie:

f(A1)\f(A2) C f(A1\A2)

(Das "C" steht hier für Teilmenge von)

Warum gilt hierbei, dass f(A1) \ f(A2) nur eine Teilmenge von f( A1 \ A2) ist und keine Gleichheit gilt?

Hier sind mal meine Noitzen in Kurzfassung:

Sei y€ f(A1) \ f (A2)

-> es existiert ein x € A1 \ A2 mit f(x) = y

-> aus A1 \ A2 resultiert, dass x € A1 ist und kein Element von A2 ist

-> demnach ist y€(fA1) und kein Element von kein f(A2)

-> insgesamt y€f(A1 \ A2)

Vielen Dank :)

Answer 1

Es ist wohl möglich, dass bei einer speziellen Funktion auch mal Gleichheit gilt.

Ein konkretes Beispiel min Ungleichheit hilft vielleicht.

Betrachte f(x) = 0.125(x+5)(x+1)(x-3)

A1 = IR

A2 = {-1,3}

f (A1\A2) = IR

f(A1) \ f(A2) = IR \ {0}

-3.125 ist geschätzt (Wenn du das für etwas brauchst musst du diesen minimalen Wert noch genau berechnen)

Comments

Wieso ist f (A1\A2) = IR ? Die Elemente von A2 fallen doch als Werte weg und somit werden nicht mehr alle zahlen aus IR erreicht oder?

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Wieso ist f (A1\A2) = IR ?

Betrachte auf dem Graphen die Bildmenge von A1\A2.

Die Bildmenge liest man an der y-Achse ab. 

Das ist ganz IR, auch wenn man einen Teil der x-Achse nicht beachtet.

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Ah, also weil die 0 schon an der stelle -5 erreicht wird?

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Ja genau! Ist natürlich ein konstruiertes Beispiel aber gar kein so exotisches.

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Aber warum gilt dann f(A1) \ f(A2) = IR \ {0}?

F(A1) =IR und f (A2) sind genau die beiden Nullstellen oder?

Bzw.die Menge {0} aber gilt das dann auch an der Stelle -5?

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f (A2) = {0}

f(A1) \ f(A2) = IR \ {0}

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Achso ja klar jetzt hab ichs verstanden.