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Es sei f : X → Y eine Abbildung zwischen zwei Mengen X und Y. Man zeige:

M1 ⊂ M2 ⊂ X  ⇒  f(M1) ⊂ f(M2);

N1 ⊂ N2 ⊂  Y ⇒ f^(-1) (N1) ⊂ f^(-1) (N2)

Kann mir jemand einen Lösungsvorschlag geben?

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Beweise mit Mengen führt man in der Regel elementweise durch, man betrachtet also die Elemente der beteiligten Mengen.

1)

Beweisidee:

Wenn M1 Teilmenge von M2 ist, dann enthält M2 alle Elemente von M1 und dann muss die Bildmenge von M2 auch alle Bilder von M1 enthalten. 

Formal:

M1 ⊂ M2 ⊂ X

=> ∀m1 ∈ M1 m1 ∈ M2

=> ∀m1 ∈ M1 f ( m1 ) ∈ f ( M2 )

=> f ( M1 ) ⊂ f ( M2 )

 

2)

Beweisidee:

Wenn N1 Teilmenge von N2 ist, dann enthält N2 alle Elemente von N1 und dann muss die Urbildmenge von N2 auch alle Urbilder von N1 enthalten.

Formal:

N1 ⊂ N2 ⊂  Y

=> ∀n1 ∈ N1 n1 ∈ N2

=> ∀n1 ∈ N1 f -1 ( n1 ) ∈ f -1 ( N2 )

=> f -1( N1 ) ⊂ f -1( N2 )

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