Rechenregel - Ereignisse Wahrscheinlichkeit

Question

Finde eine Formel für die Wahrscheinlichkeit P(A vereinigt B) P(A)= Summe aller P(w) mit w elem.A P(B)=Summe aller P(w) mit w elem.B

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Bitte ist sehr wichtig

Answer 1

$$P(A)=\sum _{ w\in A }^{ }{ P(w) }$$$$P(B)=\sum _{ w\in B }^{ }{ P(w) }$$

Würde man nun für die Vereinigungsmenge von A und B die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Elemente einfach addieren, so würde man die Wahrscheinlichkeit eines jeden Elementes w, das in A und B (also in der Schnittmenge von A und B) enthalten ist, zweimal addieren, nämlich einmal in der Summe P ( A ) und einmal in der
Summe P ( B ). Daher muss man die Wahrscheinlichkeiten dieser Elemente wieder von der Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Elemente subtrahieren und erhält somit:

$$P(A\cup B)=\sum _{ w\in A }^{ }{ P(w) } +\sum _{ w\in B }^{ }{ P(w) } -\sum _{ w\in (A\cap B) }^{ }{ P(w) }$$$$=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$