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grse

 

Muss ich in der dritten Gleichung die Mitternachtsformel anwenden um auf ein a für die Fallunterscheidung zu kommen??

Gefragt von
Hilft dir die Faktorisierung weiter?

a^2 - 11a - 12 = (a + 1)(a-12)

Wenn du die zweite - die erste Gleichung rechnest, ist y eliminiert und du hast nur noch die Unbekannten x und z. Keine Ahnung, ob das was nützt.

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Erstmal kannst du ausnutzen, dass sich die letzte Zeile auch schreiben lässt als:

x + (a+1)(a-12) z = a-5


Nun kannst du die Koeffizientenmatrix aufstellen:

Das Lösungsverhalten ist eng mit der Determinanten dieser Matrix verknüpft, also berechnen wir sie nach dem Sarrusschema:

 

det A = -3*(a+1)(a-12) - 3*(a+1)+ 6*(a+1)(a-12) = 3*(a+1)(a-12) - 3*(a+1) = 3*(a+1)*(a-13)

Das Gleichungssystem ist eindeutig lösbar, wenn die Determinante nicht 0 ist, das heißt wenn a weder -1 noch 13 ist.

Wenn a=-1 oder a=13 gilt, dann existieren entweder keine Lösungen oder unendlich viele.

 

Betrachten wir zunächst a=-1:

Dann geht das Gleichungssystem über in:

x-3y = 2
2x-3y = 10
x = -6

Subtrahiert man die erste Gleichung von der zweiten, dann erhält man:

x = 8, was offensichtlich im Widerspruch zur dritten Gleichung steht, also existiert hier keine Lösung.

 

Betrachte nun a=13:

Das Gleichungssystem geht nun über in:

x-3y = 2
2x-3y+14z = 10
x+14z = 8

Subtrahiert man die erste Gleichung zweimal von der zweiten und einmal von der dritten, dann erhält man:

x-3y = 2
3y + 14z = 6
3y + 14z = 6

Also offenbar eine überflüssige Information. Wählt man nun z.B. z=3*k, dann erhält man:

x-3y = 2
3y +52k = 6

Die zweite Gleichung wird umgeformt zu:

y = 2-14k

Eingesetzt in die erste Gleichung:

x-3(2-14k) = 2
x = 8-52k

Die Lösung lautet also:
(x,y,z) = (8-52k, 6-14k, 3k) für beliebige k∈ℝ.

 

Gilt nun a≠-1 und a≠13:

x-3y = 2
2x-3y+(a+1)z = 10
x+(a+1)(a-12)z = a-5

Man subtrahiert erstmal einmal die erste von der zweiten:

x-3y = 2
x +(a+1)z = 8
x+(a+1)(a-12)z = a-5

Und nun die neu entstandene zweite von der dritten:

x-3y = 2
x+(a+1)z = 8
(a+1)(a-12)z-(a+1)z = a-13

Die dritte Zeile können wir noch umformen, indem wir (a+1)z ausklammern:

(a+1)z*(a-12-1) = a-13

(a+1)z*(a-13) = a-13

Da a≠13 gewählt ist, können wir durch (a-13) teilen und erhalten:

(a+1)z = 1 

Da auch a≠-1 gilt, können wir auch durch (a+1) teilen und erhalten:

z = 1/(a+1)

Eingesetzt in die zweite Gleichung:

x+(a+1)/(a+1) = 8

x+1 = 8

x = 7

Und das eingesetzt in die erste Gleichung:

7-3y = 2  |-7
-3y = -5  |:3
y = 5/3

Die Lösung für a ungleich -1 und 13 lautet also:

(x,y,z) = (7, 5/3, 1/(a+1))
 

Beantwortet von 10 k
Ich glaube dir ist ein kleiner Fehler passiert!

Das LGS ist eindeutig lösbar wenn a= -1 oder 12 ist. (nicht 13)

Nein, neben der Tatsache, dass du den falschen Schluss ziehst, ist die 13 die richtige Ausnahme für die das System aber eben nicht eindeutig lösbar ist. Eindeutig lösbar ist es für alle Zahlen a, außer für a=-1 und a=13.

Für a=12 z.B:

x-3y = 2
2x-3y +13z = 10
x = 7

Setzt man x=7 in die ersten beiden Gleichungen ein, erhält man das reduzierte System:

7-3y = 2
14-3y+13z = 10

-3y = -5
-3y+13z = -4

y = 5/3  |direkt einsetzen
-5+13z = -4

13z = 1

z = 1/13

Also eindeutig lösbar mit (x,y,z) = (7, 5/3, 1/13)

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Also ich hätte es wie folgt gelöst:

Ich bringe das Gleichungssystem in die Zeilenstufenform

x - 3·y = 2
2·x - 3·y + (a + 1)·z = 10
x + (a^2 - 11·a - 12)·z = a - 5

2I - II und I - III

- 3·y - z·(a + 1) = -6
- 3·y - z·(a^2 - 11·a - 12) = 7 - a

I - II

z·(a^2 - 12·a - 13) = a - 13
z·(a + 1)·(a - 13) = a - 13

So wann ist diese Gleichung für z eindeutig lösbar ? Es gibt hier 2 Sonderfälle die man an den Klammern erkennen kann. Ist a = 13 dann wird daraus

z·(13 + 1)·(13 - 13) = 13 - 13
0 = 0

Damit ist das für alle z erfüllt. Wenn a = -1 ist wird daraus

z·(-1 + 1)·(-1 - 13) = -1 - 13
0 = -14

Damit wäre die Gleichung nie erfüllt. In allen anderen Fällen ist z eindeutig lösbar.
Beantwortet von 260 k

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