Integrale berechnen von x^2·x^{1/3} und (x+1)/x

Question

Ich brauche Hilfe bei der Berechnung der folgenden Integrale

1. \( \int x ^ { 2 } \sqrt [ 3 ] { x } \; dx \)

2. \( \int \sqrt [ 3 ] { 27 x } / \left( \sqrt [ 3 ] { a ^ { 6 } x ^ { 4 } } \right) d x \)

3. \( \int \frac{x + 1}{x} \; dx \)

Answer 1

Hier kannst du bei allen 3 Funktionen erst mal mit Potenz- und Bruchgesetzen vereinfachen.

Danach brauchst du immer die Formel zur Integration von \( x^n \)

\( f(x) = x^2·x^{1/3} = x^{2 + 1/3} = x^{7/3} \)

\( ∫x^{7/3} dx = 10/3 · x^{10/3} + C \)

\( g(x) = ∫3/a^2 · 1/x dx = 3/a^2 \\ ∫ 1/x dx = 3/a^2 · ln(x) + C = 3·ln(x) / a^2 + C \)

$$ \sqrt [ 3 ]{ { 3 }^{ 3 }x } \quad / \quad \sqrt [ 3 ]{ { { a }^{ 2 } }^{ 3 }{ x }^{ 4 } } = \frac { 3 }{ { a }^{ 2 } } ·\sqrt [ 3 ]{ \frac { x }{ { x }^{ 4 } }  } = \frac { 3 }{ { a }^{ 2 } } ·\sqrt [ 3 ]{ \frac { 1 }{ { x }^{ 3 } }  } = \frac { 3 }{ { a }^{ 2 } } ·\frac { 1 }{ x } $$

\( h(x) = (x+1)/x = x/x + 1/x = 1 + 1/x \)

\( ∫1 + 1/x \; dx = x + ln (x) + C \)