Wie löse ich 7e^x + 14e^{-x} = 21? Quadratische Gleichung mit Substitution.

Question

Wie löse ich folgende Gleichung:

7e^x +14e^-x  = 21

Answer 1

7 e ^x +14 e ^{- x} =  21

Beide Seiten durch 7 dividieren:

<=> e ^x + 2 e ^{- x} = 3

Beide Seiten mit e ^x multiplizieren:

<=> e ^{2 x} + 2 = 3 e ^x

Auf beiden Seiten 3 e ^x subtrahieren:

<=> e ^{2 x} - 3 e ^x + 2 = 0

Substitution:  u := e ^x :

<=> u ² - 3 u + 2 = 0

Quadratische Gleichung lösen:

<=> u = 1 oder u = 2

Rücksubstitution:

<=> e ^x = 1 oder e ^x = 2

Logarithmieren:

<=> x = ln ( 1 ) = 0 oder x = ln ( 2 ) 

Comments

Muss man unbedingt mit e^x multipl.? Ksnn mann nicht gleich dort subst.?

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Doch, natürlich, du kannst auch schreiben:

7 e ^x +14 e ^{- x} =  21

<=> 7 e ^x + ( 14 / e ^x ) =  21

Substitution

<=>  7 u + ( 14 / u ) =  21

Nun musst du mit u multiplizieren:

<=> 7 u ² + 14 = 21 u

und erhältst schließlich, nach Division durch 7 und Umformung, dieselbe Gleichung:

<=> u ² - 3 u + 2 = 0

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Aha ok danke. Das war sehr hilfreich.

Answer 2

Ohne Substitution:

\( 7e^{x}+14 e^{-x}=21\)

\( e^{x}+2 e^{-x}=3|\cdot e^{x} \)   nach Umstellung:

\( e^{2x}-3\cdot e^{x}=-2 \)  quadratische Ergänzung \( +( \frac{3}{2} )^2\)

\( e^{2x}-3\cdot e^{x}+ ( \frac{3}{2} )^2=-2 +( \frac{3}{2} )^2\)   2. Binom:

\(( e^{x}-\frac{3}{2} )^2=\frac{1}{4}| ±\sqrt{  } \)

1.)

\( e^{x}-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}   \)

\( e^{x}=2  \)    → \( \ln\)

\(x=\ln (2)\)

2.)

\( e^{x}-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}  \)

\( e^{x}=1  \)

\( x=0\)

Comments

Moliets, du identifizierst \( e^{2x}-3\cdot e^{x}=-2 \) als quadratische Gleichung. Darin ist bereits eine Substitution versteckt.