Limes einer Folge | Konvergente Taylorreihe für f(x)=e^x*sin(x) | Konvergenz der Reihe 1/(n²+2^n)

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Für meine Klausurvorbereitung muss ich die folgenden 3 Aufgaben verstehen. Könnt ihr mir helfen?
 

Aufgabe 1:

Berechnen Sie, wenn möglich, den Limes der Folge (xn)n≥0‚ welche rekursiv definiert ist durch:

x_{ 0 }=0,\quad x_{ 1 }=1,\quad x_{ n+1 }=\frac { 1 }{ n+1 } x_{ { n-1 } }+\frac { n }{ n+1 } x_{ n }\quad (n\ge 1)
 

Aufgabe 2:

2a) Beweisen Sie, dass die Funktion 

f : R → R, f(x) := ex * sin(x)  (x ∈ R)

eine auf ganz R konvergente Taylorreihe hat, und berechnen Sie ihre Koeffizienten.

b) Konvergiert die Taylorreihe von f gegen die Funktion f?

 

Aufgabe 3:

Untersuchen Sie folgende Reihe auf Konvergenz und bestimmen sie gegebenenfalls ihren Grenzwert: 

\sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ n^{ 2 }*2^{ n } }  }

 

VIELEN DANK!

Gefragt 13 Jul 2012 von Gast hj2322

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1 Antwort

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Lösung Aufgabe 1: Dies ist eine Rekursionsformel, wir können schlussfolgern: 

Rekursionsformel

Du kannst dann mit Hilfe einer Teleskopsumme diese Gleichung umformen und dann den Grenzwert berechnen. 

 


Lösung Aufgabe 2a: Hierzu die Funktion ableiten. 

Lösung Aufgabe 2b: Nutze hier die Reihenentwicklung (Potenzreihenentwicklung) und vergleiche dann mit dem Ergebnis aus a.

 

Beantwortet 22 Jul 2012 von Gast jb6466

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