+1 Daumen
874 Aufrufe

Für meine Klausurvorbereitung muss ich die folgenden 3 Aufgaben verstehen. Könnt ihr mir helfen?

Aufgabe 1:

Berechnen Sie, wenn möglich, den Limes der Folge (xn)n≥0‚ welche rekursiv definiert ist durch:

$$ x _ { 0 } = 0 , x _ { 1 } = 1 , x _ { n + 1 } = \frac { 1 } { n + 1 } x _ { n - 1 } + \frac { n } { n + 1 } x _ { n } \quad ( n \geq 1 ) $$

Aufgabe 2:

2a) Beweisen Sie, dass die Funktion

f : R → R, f(x) := ex * sin(x)  (x ∈ R)

eine auf ganz R konvergente Taylorreihe hat, und berechnen Sie ihre Koeffizienten.

b) Konvergiert die Taylorreihe von f gegen die Funktion f?

Aufgabe 3:

Untersuchen Sie folgende Reihe auf Konvergenz und bestimmen sie gegebenenfalls ihren Grenzwert:

$$ \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { n ^ { 2 } · 2 ^ { n } } $$

Avatar von

1 Antwort

0 Daumen

Lösung Aufgabe 1:

Dies ist eine Rekursionsformel, wir können schlussfolgern:

$$ x _ { n + 1 } - x _ { n } = \frac { - 1 } { n + 1 } \left( x _ { n } - x _ { n - 1 } \right) $$

Du kannst dann mit Hilfe einer Teleskopsumme diese Gleichung umformen und dann den Grenzwert berechnen. 


Lösung Aufgabe 2a:

Hierzu die Funktion ableiten.


Lösung Aufgabe 2b:

Nutze hier die Reihenentwicklung (Potenzreihenentwicklung) und vergleiche dann mit dem Ergebnis aus a.

Avatar von

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community