+1 Daumen
1,1k Aufrufe

Für meine Klausurvorbereitung muss ich die folgenden 3 Aufgaben verstehen. Könnt ihr mir helfen?

Aufgabe 1:

Berechnen Sie, wenn möglich, den Limes der Folge (xn)n≥0‚ welche rekursiv definiert ist durch:

x0=0,x1=1,xn+1=1n+1xn1+nn+1xn(n1) x _ { 0 } = 0 , x _ { 1 } = 1 , x _ { n + 1 } = \frac { 1 } { n + 1 } x _ { n - 1 } + \frac { n } { n + 1 } x _ { n } \quad ( n \geq 1 )

Aufgabe 2:

2a) Beweisen Sie, dass die Funktion

f : R → R, f(x) := ex * sin(x)  (x ∈ R)

eine auf ganz R konvergente Taylorreihe hat, und berechnen Sie ihre Koeffizienten.

b) Konvergiert die Taylorreihe von f gegen die Funktion f?

Aufgabe 3:

Untersuchen Sie folgende Reihe auf Konvergenz und bestimmen sie gegebenenfalls ihren Grenzwert:

n=11n2 · 2n \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { n ^ { 2 } · 2 ^ { n } }

Avatar von

1 Antwort

0 Daumen

Lösung Aufgabe 1:

Dies ist eine Rekursionsformel, wir können schlussfolgern:

xn+1xn=1n+1(xnxn1) x _ { n + 1 } - x _ { n } = \frac { - 1 } { n + 1 } \left( x _ { n } - x _ { n - 1 } \right)

Du kannst dann mit Hilfe einer Teleskopsumme diese Gleichung umformen und dann den Grenzwert berechnen. 


Lösung Aufgabe 2a:

Hierzu die Funktion ableiten.


Lösung Aufgabe 2b:

Nutze hier die Reihenentwicklung (Potenzreihenentwicklung) und vergleiche dann mit dem Ergebnis aus a.

Avatar von

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage