überprüfen ob, Abbildungen linear sind. Bsp. f(x|y):= (x|x+y).

Question

kann mir einer sagen wie man dieses zu berechnen hat?

Vielen Dank

Comments

b) Gegenbeispiel basteln.

f(0,0,0) = 1 ≠ 0

==> b) ist nicht linear.

Answer 1

du musst jeweils überprüfen, ob

f ( α•$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$)   =   α • f ($\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$)      und   

  f ($\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix}$ + $\begin{pmatrix} x_2\\ y_2 \end{pmatrix}$)   =  f ($\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix}$)  +  f ($\begin{pmatrix} x_2\\ y_2 \end{pmatrix}$) gilt.

Also ob

f ($\begin{pmatrix} α·x \\ α·y \end{pmatrix}$)   =   α • f ($\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$)      und   

f ( $\begin{pmatrix} x_1 + x_2\\ y_1+ y_2 \end{pmatrix}$)   =  f ($\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix}$)  +  f ($\begin{pmatrix} x_2\\ y_2 \end{pmatrix}$) gilt.

Dazu musst du jeweils die Koordinaten der beiden letzten Gleichungen in die jeweilige Abbildungsvorschrift einsetzen.

Gruß Wolfgang

Comments

und was muss ich dafür einsetzten?

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Bei a) ist zum Beispiel

f ($\begin{pmatrix} α·x \\ α·y \end{pmatrix}$)  =  $\begin{pmatrix} α·x \\ α·x + α·y \end{pmatrix}$

α • f ($\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ )   = α • $\begin{pmatrix} x \\ x + y \end{pmatrix}$

Wenn du die einfachsten Regeln der Vektorrechnung anwendest, erkennst du, dass beides übereinstimmt.

Answer 2

Gegenbeispiel für d)

f (1 | 0|0) = (0 | 1)

f( - 2 | 0 | 0) = ( 0| 2) ≠ (-2)*(0|1) = (0 | -2)

q.e.d.